Том 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Следующая таблица была составлена с помощью программы для подобных экспериментов, которая находится на сайте http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi.

Из таблицы видно, что наша функция принимает значение 1 для первых восьми натуральных чисел, так как запись числа π содержит последовательности цифр 333, 4444, 55555, 666666, 7777777 и 88888888. Чтобы вычислить значение f(9), можно написать программу, которая будет обходить все знаки π, пока не будет найдена искомая последовательность из девяти девяток подряд. Если такая последовательность в записи π действительно существует, то программа обязательно обнаружит ее, и функция примет значение 1. Время выполнения программы в данном случае не имеет значения, поскольку, как мы неоднократно указывали, речь идет об идеальной машине, не имеющей физических ограничений, свойственных компьютерам. Однако если последовательность из девяти девяток подряд в записи π отсутствует, программа никогда не остановится, и мы не сможем определить значение f(9). Следовательно, мы никогда не сможем узнать, является ли функция f вычислимой, если только не докажем, что в записи числа π присутствует последовательность из девяти девяток подряд. Однако в этом случае программа будет бесполезной, так как из нашего доказательства будет следовать, что f(9) равно 1. Эта функция является вычислимой, хотя на первый взгляд может показаться, что это не так.

* * *

А ЧТО, ЕСЛИ ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО?

В своем рассказе «Вавилонская библиотека» аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес предполагает, что вся информация во вселенной может содержаться в единственной книге, которая «содержит бесконечное число бесконечно тонких страниц». Но зачем хранить информацию в этом громадном томе, если, возможно, она поместится в одно число? Одна из самых таинственных гипотез современной математики заключается в том, что в десятичной записи числа π, равного отношению длины окружности к ее диаметру, рано или поздно встречается любая числовая последовательность. Если это в самом деле так, то в записи этого числа содержится не только последовательность 999999999, но и числовая последовательность, кодирующая любое сообщение прошлого, настоящего и будущего.

* * *

Чтобы доказать это, нужно рассуждать точно так же, как мы рассуждали выше: так как число функций, определенных для чисел от 1 до 9 и принимающих значения 0 и 1, является конечным (в нашем случае таких функций 512 — управиться с ними будет несколько труднее, чем с функциями, определенными только для 0 и 1 и принимающими значения 0 и 1), существует машина Тьюринга, вычисляющая значение каждой из них. Это пример вычислимой функции, машину Тьюринга для которой мы не можем описать в явном виде.

Другим классом вычислимых функций являются рекурсивные функции, то есть такие функции, в которых значение f(n) можно вычислить на основе значений, которые принимает эта функция для других чисел, меньших n. Большинство функций, постоянно используемых в математике, являются рекурсивными, но все ли они вычислимы? Алан Тьюринг моментально дал отрицательный ответ на этот вопрос: существует множество функций, значение которых не сможет вычислить ни одна машина Тьюринга, более того, если выбрать функцию произвольным образом, то она почти наверняка не будет вычислимой. В то же время по другую сторону Атлантики логик Алонзо Чёрч (1903–1995) из Принстонского университета пришел к тем же выводам, разработав формальную систему, которую он назвал лямбда-исчислением. Обе эти идеи были столь новаторскими, что единственным, кого смогли найти редакторы журнала Proceedings of the London Mathematical Society для рецензирования статьи Тьюринга, оказался именно Чёрч. Так началось их плодотворное сотрудничество, прервавшееся на время войны, результатом которого стал принцип, сегодня известный под названием «тезис Чёрча — Тьюринга». Возможны и другие определения вычислимой функции, но если принять этот тезис, то все они будут эквивалентны существованию машины Тьюринга, вычисляющей значения функции.

Алонзо Чёрч, коллега Тьюринга и создатель лямбда-исчисления.