"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

На наш взгляд, лектор должен показать студентам общие подходы к кривым второго порядка. После того как становится известным, что эллипс, гипербола, парабола и их вырождения исчерпывают класс кривых второго порядка, студенты (с помощью преподавателя) должны “заподозрить” общее геометрическое свойство. После этого лектор рассказывает о том, что кривые второго порядка и их вырождения имеют одинаковое “происхождение”: они являются сечениями плоскостью поверхности конуса, если этот конус мыслить неограниченно продолженным в обе стороны от вершины. Этот факт (известный ещё древним грекам) чрезвычайно поучителен в познавательном и методологическом аспектах, а его демонстрация на доске или на модели производит большое эмоциональное воздействие.

В учебниках по высшей математике кривые второго порядка как конические сечения или вообще не рассматриваются, или рассматриваются как бы статично, независимо друг от друга: при определённых положениях секущей плоскости получается та или иная кривая. На наш взгляд, студентам гораздо интереснее и поучительнее будет увидеть образование кривых второго порядка в процессе динамики,то есть в процессе непрерывного изменения положения секущей плоскости. Если плоскость пересекает конус параллельно его основанию, то в сечении получается окружность (в частности, точка как окружность нулевого радиуса). Если плоскость наклонять, то сечение становится эллиптическим. Чем сильнее наклоняется плоскость, тем больше вытягивается эллипс, оставаясь эллипсом до тех пор, пока плоскость не станет параллельной образующей конуса. Как только это произойдёт, кривая перестаёт быть замкнутой, и две её ветви устремляются в бесконечность, образуя параболу. Дальнейший наклон плоскости приведёт к тому, что она пересечёт вторую половину конуса. В этом случае конические сечение есть гипербола (распространена ошибка, будто для образования гиперболы секущая плоскость обязательно должна быть параллельна оси конуса). Форма ветвей гиперболы меняется с изменением наклона плоскости до тех пор, пока они не выродятся в две пересекающиеся прямые.

Лектор может показать ещё один общий подход к кривым второго порядка: эллипс (кроме окружности), гипербола и парабола являются множествами точек, отношение расстояния которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная (эксцентриситет). При таком подходе определения и уравнения различных кривых второго порядка отличаются друг от друга лишь величиной эксцентриситета. Таким образом, оказывается, что эксцентриситет, который раньше был лишь показателем степени “сплюснутости” кривой, теперь становится одной из важнейших характеристик, видовым признаком, позволяющим по уравнению отличить одну кривую второго порядка от другой.

В этом плане поучительно рассмотреть (без доказательства) общее уравнение кривых второго порядка, отнесенное к вершине:

y²=2 px–(1– ε ²) x ².

При ε=0 получим окружность (в частности, при ε=0 и p=0 получим точку). Если эксцентриситет εвозрастает, оставаясь меньше единицы, то 1– ε ²>0. Имеем непрерывно деформирующийся эллипс. Как только эксцентриситет становится равным единице, эллипс “превращается” в параболу. При дальнейшем увеличении эксцентриситета получим гиперболу. “Здесь можно проследить, – пишет неизвестный автор, – всю эволюцию форм кривых второго порядка. В первом акте высокой трагедии мы будем наблюдать деформирующийся эллипс, один из фокусов которого устремился в бесконечность, увлекая за собой и центр эллипса. Во втором акте меняющееся значение эксцентриситета достигает значения, равного единице, и тогда, только на одно мгновение мелькает образ параболы с тем, чтобы тотчас исчезнуть и дать место новому существованию – гиперболе. Последний акт будет длиться бесконечно долго – деформирующаяся гипербола может жить не спеша, но судьба ее выродиться в пару прямых предрешена”. Блестящее единство математики, диалектики и эстетики!

Умение видеть изменение геометрического образа при изменении параметров имеет большой познавательный смысл. Подобные примеры не только развивают воображение студентов, их эстетическое восприятие, но и делают изучение учебного материала по-настоящему интересным. Это стократ окупает некоторые дополнительные затраты времени.