Теория струн и скрытые измерения Вселенной

К началу 1974 года Калаби и Ниренберг, также работавшие над задачей Дирихле, одновременно с нами получили оценку второго порядка. Нахождение оценки нулевого порядка оказалось весьма простой задачей. Ну а оценку первого порядка можно вывести из оценок нулевого и второго порядков. Итак, оставалась только оценка третьего порядка, нахождение которой и открывало путь к решению задачи Дирихле.

Математический аппарат, необходимый для решения этой задачи, возник еще в конце 1950-х. Я еще учился в средней школе, когда Калаби нашел решение главной геометрической задачи, оказавшейся впоследствии решающей в вопросе нахождения оценок третьего порядка для внутренних точек поверхности в случае вещественных уравнений Монжа-Ампера. Сделать вклад в эту область Калаби во многом помогло стечение обстоятельств. В то время он работал над проблемой из области аффинной геометрии (аффинная геометрия представляет собой обобщение евклидовой геометрии, в подробности которого я, будучи весьма далек от этой области, не особо хочу вдаваться), тогда как Ниренберг и Чарльз Левнер из Стэнфордского университета занимались задачей Дирихле для уравнения Монжа-Ампера, но не с гладкой, а с так называемой сингулярной границей, подобной гребню волны. Увидев то уравнение, над которым работали Ниренберг и Левнер, Калаби понял, что оно непосредственно связано с тематикой его работ по аффинной геометрии. Калаби и Ниренберг догадались, как применить результаты Калаби, полученные им в 1950-х годах, к проблеме оценки третьего порядка для внутренних точек поверхности, с которой мы столкнулись в 1970-х. «Многие математические открытия происходят благодаря удачному стечению обстоятельств, такому как это, — заметил Калаби. — Порой стоит попробовать соединить кажущиеся несовместимыми идеи и затем посмотреть, где можно применить то, что получилось в результате».[52]

Позже, в 1974 году, Калаби и Ниренберг объявили, что им удалось найти решение краевой задачи для комплексных уравнений Монжа-Ампера. Впрочем, оказалось, что они допустили ошибку, и оценка третьего порядка для точек, находящихся на границе, по-прежнему отсутствовала.

Вскоре мы с Ченгом представили и свою версию оценки третьего порядка на границе. Это произошло во время обеда, на который Ч. Ш. Черн пригласил нас, чтобы мы составили компанию ему с Ниренбергом. Ниренберг в то время уже был большой шишкой, тогда как мы только окончили университет, поэтому всю ночь перед предполагавшимся обедом мы посвятили проверке нашего доказательства и, к нашему ужасу, обнаружили в нем ошибки. На их исправление и переписывание доказательства нам потребовалась целая ночь. Следующим вечером мы показали наше доказательство Ниренбергу. Он остался им доволен, мы также остались им довольны, так что теперь можно было спокойно наслаждаться обедом. Но уже после обеда мы с Ченгом заново просмотрели доказательство и нашли в нем новые ошибки. Только через шесть месяцев после этого, в самом конце 1974 года, мы закончили работу над краевой задачей. Нам удалось решить ее путем исследования уравнения, близкого к тому, над которым работали Левнер и Ниренберг, только для более высоких размерностей. Метод, который мы использовали, позволял не принимать во внимание оценку третьего порядка, делая ее необязательной.

Закончив эту работу, я был готов приступить к комплексному варианту гипотезы Калаби — задаче, которая, в отличие от задачи Дирихле, сформулированной для комплексного евклидова пространства, относилась к случаю комплексного многообразия. Мое стремление как можно быстрее приступить к ее доказательству было столь сильным, что к публикации статьи, посвященной задаче Дирихле, мы смогли вернуться только через пять лет — в 1979 году.

Когда задача Дирихле осталась позади, большая часть оставшейся работы представляла собой обобщение или, иными словами, перевод оценок, сделанных для вещественных уравнений Монжа-Ампера, в оценки для комплексных уравнений. Этот путь мне пришлось преодолевать уже в одиночку, поскольку дороги Ченга лежали немного в другом направлении.

Когда-то, в 1974 году, Калаби и Ниренберг совместно с Дж. Дж. Коном из Принстона уже начинали работу над комплексной разновидностью задачи Дирихле в евклидовом пространстве. Они добились определенных успехов в исследовании оценок третьего порядка, так что мне оставалось применить их результаты к случаю искривленного пространства. В том же году у меня возникли некоторые идеи по поводу нахождения оценок второго порядка для гипотезы Калаби, при этом я опирался на собственную работу 1972 года, посвященную так называемой лемме Шварца. Эта лемма, или мини-теорема, появилась еще в XIX столетии и не имела ничего общего с геометрией, до тех пор пока в первой половине XX столетия она не была переосмыслена профессором Гарвардского университета Ларсом Альфорсом. Теорема Альфорса относилась только к римановым поверхностям, имеющим по определению одно комплексное измерение, но мне удалось обобщить ее для случая любой комплексной размерности.