Теория струн и скрытые измерения Вселенной

До появления моего доказательства единственными известными компактными пространствами, удовлетворяющими требованиям уравнений Эйнштейна, были так называемые локально однородные многообразия, в которых любые находящиеся рядом две точки казались неразличимыми. Но те пространства, которые мне удалось обнаружить, были как неоднородны, так и асимметричны, точнее, в них отсутствовала всеохватывающая глобальная симметрия, что, однако, не мешало им иметь менее заметную внутреннюю симметрию, о которой уже шла речь в предыдущей главе. Лично для меня это казалось преодолением огромного препятствия, поскольку выход за пределы глобальной симметрии открывал целый ряд новых возможностей, делая мир вокруг и интереснее и запутаннее.

В первое время я просто наслаждался красотой этих замысловатых пространств и кривизны самой по себе, не задумываясь об их возможных применениях. Но уже вскоре оказалось, что эти пространства имеют множество применений, как в рамках математики, так и за ее пределами. Однажды мы уже сочли гипотезу Калаби «слишком хорошей, чтобы быть истинной». На самом деле она оказалась даже лучше, чем мы думали.

Шестая глава ДНК теории струн

При поиске алмазов, если вам повезет, вы также можете найти и другие драгоценные камни. Когда я заявил о своем доказательстве гипотезы Калаби в 1977 году в своей двухстраничной статье, за которой последовало само доказательство на семидесяти трех страницах в 1978-м, я также объявил о доказательстве еще пяти теорем, относящихся к данной гипотезе. Такая плодотворность во многом стала следствием тех необычных обстоятельств, в которых завязывались мои отношения с гипотезой Калаби, — начав с попыток доказать ее ошибочность, я затем резко сдал назад и стал доказывать ее истинность. К счастью, оказалось, что мои усилия не были потрачены даром — все мои ошибочные шаги, все те безвыходные положения, в которые я попадал, впоследствии были мной использованы. Придуманные мной контрпримеры — следствия, логически вытекающие из гипотезы Калаби, которые, как я полагал, должны были оказаться ложными, — также оказались истинными. Эти неудавшиеся контрпримеры на самом деле были настоящими примерами и вскоре были представлены мной в виде нескольких небезынтересных математических теорем.

Важнейшая из этих теорем вела к доказательству гипотезы Севери (комплексного варианта гипотезы Пуанкаре), задачи, которая оставалась нерешенной на протяжении двух десятилетий. Но прежде чем дойти до этого, я доказал одно важное неравенство, напрямую связанное с вопросом классификации поверхностей на основе их топологии, которым я заинтересовался, отчасти благодаря моему разговору с гарвардским математиком Дэвидом Мамфордом, проезжавшим в то время через Калифорнию. Задача, о которой идет речь, впервые была выдвинута Антониусом ван де Веном из Лейденского университета и относилась к вопросу о неравенстве между классами Черна для кэлеровых многообразий. Ван де Вен доказал, что для любого многообразия второй класс Черна, умноженный на восемь, должен быть больше или равен квадрату первого класса Черна того же многообразия. Притом многие полагали, что этому неравенству можно придать более сильную форму, заменив восьмерку на тройку. Действительно, тройку можно было бы считать оптимальным значением. Вопрос, поставленный Мамфордом, состоял в возможности доказательства этого более сильного утверждения. Смысл выражения «более сильное утверждение» заключается в том, что, согласно предположению Мамфорда, некая величина, а именно второй класс Черна, будет больше, чем некая другая, не только при умножении на восемь, но и при умножении на меньшее число — три.

Мамфорд поднял этот вопрос во время своей лекции в Калифорнийском университете в Ирвине в сентябре 1976 года; я также присутствовал на ней, как раз незадолго до этого закончив работу над доказательством гипотезы Калаби. Во время доклада Мамфорда мне стало понятно, что я уже сталкивался с этой задачей раньше. Поэтому в процессе дискуссии, возникшей по окончании лекции, я сказал Мамфорду, что смогу доказать этот более сложный случай. Придя домой, я проверил свои расчеты и обнаружил, что, как я и подозревал, этот тип неравенства я пытался использовать в 1973 году для опровержения гипотезы Калаби; теперь же я мог использовать теорему Калаби-Яу для доказательства этого неравенства. Более того, доказав упомянутое выше утверждение, я теперь мог воспользоваться его частным случаем, а именно случаем равенства (второй класс Черна, умноженный на три, равен квадрату первого класса Черна) для доказательства гипотезы Севери.