Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Безотносительно к тому, сознательно или бессознательно Калаби затрагивал физические проблемы, связь между его гипотезой и вопросами гравитации стала для меня важнейшим побудительным фактором, чтобы приняться за эту работу. Я понял, что доказательство гипотезы Калаби может стать важным шагом на пути к раскрытию какой-то глубокой тайны.

Вопросы, подобные тому, который поставил Калаби, часто формулируют в терминах метрики или геометрии пространства — набора функций, который позволяет определить длину любой траектории в соответствующем пространстве, — с этим понятием мы впервые столкнулись в первой главе. Всякое топологическое пространство способно принимать множество различных форм и, следовательно, обладать множеством всевозможных метрик. Одно и то же топологическое пространство может иметь форму куба, сферы, пирамиды или тетраэдра — геометрических тел, эквивалентных с топологической точки зрения. Вопрос, который затрагивает гипотеза Калаби, относящийся к разновидностям метрики, допустимым в данном пространстве, может быть переформулирован следующим эквивалентным образом: какие из геометрических форм возможны для пространств данной топологии?

Конечно, Калаби не использовал в точности такие термины, когда выдвигал свою гипотезу. Его цель состояла в том, чтобы узнать, будет ли определенный вид комплексного многообразия, а именно пространство, являющееся компактным, то есть имеющим ограниченную протяженность, и «кэлеровым» — удовлетворяющим определенным топологическим условиям (имеющим определенную характеристику, известную как «обращение в нуль первого класса Черна»), — иметь риччи-плоскую метрику. Нужно признать, что все ключевые составляющие данной гипотезы весьма сложны для непосредственного восприятия, поэтому определение всех понятий, необходимых для понимания утверждения Калаби, таких как комплексные многообразия, геометрия и метрика Кэлера, первый класс Черна и кривизна Риччи, — потребует определенных усилий.

На протяжении данной главы всем этим понятиям будет дано объяснение. При этом основной идеей гипотезы является возможность — с математической и геометрической точек зрения — существования пространств, удовлетворяющих всему этому сложному набору требований.

Мне кажется, что такие пространства столь же редки, как алмазы, и гипотеза Калаби предоставляет карту, позволяющую их обнаружить. Зная, как решить уравнение для одного из многообразий и понимая общую структуру этого уравнения, при помощи той же идеи можно решить соответствующие уравнения для всех кэлеровых многообразий, удовлетворяющих заданным требованиям. Гипотеза Калаби предлагает существование общего правила, указывающего нам на то, что «алмазы» находятся именно в данном месте — или, иными словами, на то, что та метрика, которую мы ищем, существует. Даже если пока мы не способны увидеть ее во всей красе — мы не сомневаемся в том, что она действительно существует. Среди всех математических теорий эта казалась мне скрытым сокровищем — чем-то сродни неограненному алмазу.

Из этой идеи зародилась та работа, благодаря которой я получил сегодняшнюю известность. Можно сказать, что именно в этой работе я нашел свое истинное призвание. Вне зависимости оттого, в какой области мы работаем, мы все стремимся найти наше собственное призвание в жизни — то особое, для которого мы появились на этой земле. Для актера таким призванием может стать роль Стэнли Ковальски в пьесе Теннесси Уильямса «Трамвай “Желание”». Или заглавная роль в «Гамлете». Для пожарного это может быть победа над пожаром десятой категории сложности. Для криминалиста — поимка Врага Общества Номер Один. Ну а в математике найти свое призвание — значит найти ту задачу, работа над которой была предопределена тебе самой судьбой. Хотя, возможно, дело тут и не в судьбе. Может быть, достаточно просто наткнуться на задачу, которую ты можешь успешно решить.

Говоря откровенно, выбирая задачу для дальнейшей работы, я никогда особо не задумываюсь о том, какую роль в моей дальнейшей судьбе она может сыграть, напротив, в этих вопросах я стараюсь быть как можно более прагматичным. Моей целью является поиск новых направлений в математике, способных породить новые, неизвестные математические задачи, многие из которых и сами по себе будут интересны. Может оказаться и так, что меня заинтересует уже существующая проблема, если мне покажется, что ее решение может значительно раздвинуть горизонты той или иной области.