Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Один из подходов Гамильтона заключался в исследовании особого класса решений, являющихся стационарными в определенной системе координат. Выбор подходящей системы координат позволяет упростить многие задачи — например, при рассмотрении движения людей, находящихся на вращающейся карусели, оптимальным будет выбор системы координат, вращающейся с той же скоростью, что и карусель. Путем отбора стационарных решений, являющихся более простыми для понимания, Гамильтон разработал оптимальный метод введения методов оценки Ли-Яу в свои уравнения. Это, в свою очередь, позволило ему уяснить динамику потока Риччи — то есть процессов движения и развития объектов. В частности, Гамильтон был очень заинтересован исследованием процесса порождения сингулярностей в результате сложного движения в пространственно-временном континууме. В конечном итоге ему удалось описать структуру всех возможных сингулярностей, которые могли бы возникнуть в процессе преобразования, хотя он и не мог доказать, что все эти сингулярности обязательно возникнут. Из тех сингулярностей, которые удалось идентифицировать Гамильтону, все, кроме одной, были устранимы — удалить их можно было при помощи методов топологической «хирургии», методики, разработанной и широко применяемой в четырехмерном пространстве. «Хирургические» процедуры весьма сложны, но при удачной реализации дают возможность убедиться в эквивалентности исследуемого пространства сфере, что и требовал Пуанкаре.

Однако существовал еще один тип сингулярностей, представляющих собой сигарообразные выступы, от которого Гамильтон подобным образом избавиться не сумел. Если бы он смог показать, что «сигары» в процессе трансформации многообразий не возникают, проблема сингулярностей стала бы намного яснее, что позволило бы сделать огромный шаг в направлении доказательства гипотез Пуанкаре и Тёрстона. Ключевым моментом, согласно идее Гамильтона, стало применение оценок Ли-Яу в случае любой, не обязательно положительной, кривизны многообразия. Он немедленно привлек меня к решению этой задачи, оказавшейся на удивление трудной. Однако нам все же удалось достичь некоторых результатов, и окончание всей работы казалось только вопросом времени.

Мы были весьма удивлены, когда в ноябре 2002 года в Интернете появилась первая из трех статей под авторством санкт-петербургского математика Григория Перельмана, посвященная геометрическим применениям методов потока Риччи. Менее чем через год на том же сайте были выложены вторая и третья статьи. В этих статьях Перельман задался целью «прояснить некоторые детали программы Гамильтона» и «дать краткий набросок доказательства гипотезы геометризации».[41] Он, так же как и Гамильтон, использовал неравенства Ли-Яу для контроля над поведением сингулярностей, хотя и ввел их несколько иным образом, добавив помимо этого много собственных нововведений.

В определенном смысле статьи Перельмана появились буквально из ниоткуда. Никто не знал, что Перельман когда-либо занимался проблемами, связанными с потоком Риччи, поскольку он был известен благодаря своим успехам в совершенно иной области математики — так называемой метрической геометрии, где он доказал знаменитую гипотезу, предложенную геометрами Джефом Чигером и Детлефом Громоллом. Но за несколько лет до появления в Интернете его статей Перельман надолго пропал из виду. Иногда другие математики получали от него электронные письма, в которых он интересовался литературой по вопросам потока Риччи. Однако никто не догадывался, что Перельман серьезно работает над использованием потока Риччи для доказательства гипотезы Пуанкаре, поскольку он практически никому не сообщал об этом. По сути дела его деятельность была столь незаметна, что многие из его бывших коллег сомневались в том, что он все еще вообще занимается математикой.

Сами по себе статьи были не менее поразительны — всего шестьдесят восемь страниц текста, — что привело к тому, что другим ученым пришлось потратить немало времени на то, чтобы понять их содержание и извлечь из них ключевые аргументы, кратко набросанные Перельманом. На сегодняшний день является общепризнанным, что программа исследований, начатая Гамильтоном и продолженная Перельманом, в конце концов привела к разрешению как давней гипотезы Пуанкаре, так и более свежей проблемы Тёрстона.

Если это единодушное признание действительно имеет под собой основу, то совместные успехи Гамильтона и Перельмана представляют собой важнейшее достижение геометрического анализа. Согласно моим расчетам, почти половина теорем, лемм и прочих вспомогательных утверждений, полученных в этой области на протяжении последних тридцати лет, были использованы в работах Гамильтона и Перельмана, что и привело в конце концов к доказательству гипотезы Пуанкаре.