Теория струн и скрытые измерения вселенной

Вклад, внесенный многими из моих непосредственных предшественников в математику, был весьма значителен, таким образом, к моменту моего выхода на сцену в области нелинейного анализа уже имелось множество детально разработанных теорий. К подобным теориям относится разработанная Морри, Алексеем Погореловым и другими теория нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для случая двухмерного пространства, которые называют эллиптическими уравнениями и которые будут обсуждаться в пятой главе. В 1950-х годах Эннио де Джорджи и Джон Нэш разработали методы исследования подобных уравнений для случая большего числа измерений и более того — для любого числа измерений. Вскоре после этого теории, созданные для большого числа измерений, были развиты такими учеными, как Морри и Луис Ниренберг, что говорит о том, что я выбрал отличное время для начала работы в данной области и применения разработанных ими методов к геометрическим задачам.

Несмотря на то что подход, который я и мои коллеги взяли на вооружение в начале 1970-х, не был чем-то совершенно новым, мы попытались взглянуть на него с совершенно иной точки зрения. Так, для Морри дифференциальные уравнения в частных производных имели фундаментальное значение сами по себе и представляли скорее подлежащее изучению прекрасное творение разума, нежели средство для достижения какой-либо цели. Интересуясь также и геометрией, он рассматривал ее в основном как источник интересных дифференциальных уравнений, точно так же он смотрел и на многие области физики. И хотя мы оба восхищались этими уравнениями, наши цели были практически противоположны — вместо того, чтобы пытаться искать новые нелинейные уравнения в геометрических задачах, я собирался использовать эти уравнения для решения геометрических задач, до этого считавшихся неразрешимыми.

Вплоть до 1970-х годов геометры всячески избегали нелинейных уравнений, впрочем, я и мои современники не испытывали перед ними сильного страха. Мы поставили себе целью узнать, как следует обращаться с подобными уравнениями, чтобы затем использовать их в своей повседневной работе. Рискуя показаться нескромным, я все же скажу, что эта стратегия не только оправдала себя, но и вышла далеко за рамки первоначальных задач. На протяжении многих лет, используя методы геометрического анализа, мы занимались решением важнейших задач, не разрешенных до этого каким-либо другим способом. «Смесь геометрии с теорией [дифференциальных уравнений в частных производных], — отметил математик Имперского колледжа Лондона Саймон Дональдсон, — задает тон во всей обширной области, касающейся данного предмета, на протяжении последней четверти столетия».[26]

Итак, чем же занимается геометрический анализ? Рассмотрим сначала простейший пример. Предположим, что вы нарисовали окружность и сравнили ее с произвольной петлей или замкнутой кривой, которая имеет несколько меньшую длину, — в роли подобной петли может выступать обычная резинка, небрежно брошенная на письменный стол. Эти две кривые выглядят совершенно различными и, естественно, имеют разную форму. Однако можно представить, как резинка деформируется (или растягивается) и превращается в окружность — такую же, как та, что нарисована на бумаге.

Существует много способов сделать это. Вопрос в том, какой из них лучше? Иными словами, существует ли такой способ, который будет безотказно работать во всех возможных случаях и никогда не приведет к возникновению узлов или перекручиваний? Можно ли найти этот универсальный способ, не прибегая к методу проб и ошибок? Узнать все это можно в рамках геометрического анализа, который позволяет, исходя из геометрии произвольной кривой (в нашем случае резинки), сделать выводы о способах ее преобразования в окружность. Этот процесс не должен быть произвольным. Строго определенный или — еще лучше — канонический путь превращения нашей кривой в окружность однозначно определяется ее геометрией. Для математиков слово канонический является синонимом слова «единственно верный», что, впрочем, иногда звучит излишне строго. Представим себе, что мы хотели бы попасть с Северного полюса на Южный. Существует бесконечно много меридианов, соединяющих эти точки. Каждый из меридианов будет кратчайшим путем, но ни один из них не будет единственно верным; вместо этого мы называем такие пути каноническими.