Читаем Теория струн и скрытые измерения вселенной полностью

Геометрический анализ — сравнительно новая область математики, к обсуждению которой мы сейчас приступим, — развивает эту идею дальше. Следует отметить, что общий подход, предусматривающий использование дифференциальных уравнений в геометрии, развивался в течение нескольких столетий, зародившись практически одновременно с дифференциальным исчислением. Одним из первых исследователей в этой области стал великий швейцарский математик XVIII столетия Леонард Эйлер. Помимо всего прочего, он первым применил дифференциальные уравнения в частных производных для систематического исследования трехмерных поверхностей. Через два с лишним столетия после Эйлера мы продолжаем идти по его стопам. По сути, Эйлер был одним из первых, кто обратил внимание на нелинейные уравнения, лежащие сегодня в основе геометрического анализа.

Нелинейные уравнения, как правило, весьма сложны для решения, отчасти потому, что описываемые ими модели носят более запутанный характер. Так, нелинейные системы по своей природе менее предсказуемы, чем линейные, — хорошим примером здесь может служить погода — даже небольшие изменения в начальных условиях могут привести к совершенно другим результатам. Возможно, наиболее известной формулировкой того же утверждения является так называемый эффект бабочки в теории хаоса, парадоксальным образом предсказывающий возможность того, что взмах крыла бабочки в одной части мира может стать причиной возникновения торнадо в другой.

Линейные системы, напротив, содержат в себе гораздо меньше подводных камней и, следовательно, гораздо более просты для понимания.

Линейные зависимости — это зависимости типа y = 2x, названные так, поскольку их графиками являются прямые линии. Каждому значению аргумента здесь соответствует единственное значение функции. Двоение x автоматически приведет к удвоению y и наоборот. Изменение одной переменной всегда пропорционально изменению другой; невозможно получить огромный скачок в значении одной из переменных, лишь слегка изменив другую. Если бы законы природы описывались исключительно линейными зависимостями, наш мир был бы намного проще для понимания — хотя и значительно менее интересным. Но это не так — и именно поэтому приходится иметь дело с нелинейными уравнениями.

Впрочем, существуют некоторые методы, упрощающие работу с нелинейными уравнениями. К примеру, сталкиваясь с нелинейной задачей, можно прибегнуть к соответствующему линейному приближению и использовать его до тех пор, пока оно не перестанет быть применимым. Так, проанализировать волнистую (нелинейную) кривую можно путем нахождения производных соответствующей функции, что дает возможность представить кривую в виде совокупности касательных или, другими словами, линейных элементов (прямых линий) в любых необходимых нам точках кривой.

Аппроксимация нелинейного мира линейными зависимостями является для ученых обычной практикой, что, конечно, никоим образом не изменяет сам факт принципиальной нелинейности Вселенной. Для того чтобы получить возможность работать с нелинейными системами непосредственно, необходимо использовать математические приемы, лежащие на границе между геометрией и нелинейными дифференциальными уравнениями. Именно это было осуществлено в рамках геометрического анализа, математического подхода, оказавшегося весьма полезным как для теории струн, так и для всей современной математики в целом.

Я не хотел бы, чтобы у вас возникло впечатление, будто бы начало геометрического анализа было заложено только в первой половине 1970-х годов, когда я остановил свой выбор на этой области математики. Как я уже говорил, в математике никто не может заявить о том, что он начал что-либо с чистого листа. Так и идея геометрического анализа восходит еще к XIX столетию — а именно к работам французского математика Анри Пуанкаре, который, в свою очередь, основывался на трудах Римана и других его предшественников.

Рис. 3.3. Метод геометрического анализа, известный как поток сокращения кривых, дает математическое описание механизма превращения любой несамопересекающейся замкнутой кривой в окружность без возникновения при этом каких-либо особенностей, таких как выступы, петли или узлы

Перейти на страницу:

Похожие книги

100 великих научных открытий
100 великих научных открытий

Астрономия, физика, математика, химия, биология и медицина — 100 открытий, которые стали научными прорывами и изменили нашу жизнь. Патенты и изобретения — по-настоящему эпохальные научные перевороты. Величайшие медицинские открытия — пенициллин и инсулин, группы крови и резусфактор, ДНК и РНК. Фотосинтез, периодический закон химических элементов и другие биологические процессы. Открытия в физике — атмосферное давление, инфракрасное излучение и ультрафиолет. Астрономические знания о магнитном поле земли и законе всемирного тяготения, теории Большого взрыва и озоновых дырах. Математическая теорема Пифагора, неевклидова геометрия, иррациональные числа и другие самые невероятные научные открытия за всю историю человечества!

Дмитрий Самин , Коллектив авторов

Астрономия и Космос / Энциклопедии / Прочая научная литература / Образование и наука
Теория струн и скрытые измерения Вселенной
Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Революционная теория струн утверждает, что мы живем в десятимерной Вселенной, но только четыре из этих измерений доступны человеческому восприятию. Если верить современным ученым, остальные шесть измерений свернуты в удивительную структуру, известную как многообразие Калаби-Яу. Легендарный математик Шинтан Яу, один из первооткрывателей этих поразительных пространств, утверждает, что геометрия не только является основой теории струн, но и лежит в самой природе нашей Вселенной.Читая эту книгу, вы вместе с авторами повторите захватывающий путь научного открытия: от безумной идеи до завершенной теории. Вас ждет увлекательное исследование, удивительное путешествие в скрытые измерения, определяющие то, что мы называем Вселенной, как в большом, так и в малом масштабе.

Стив Надис , Шинтан Яу , Яу Шинтан

Астрономия и Космос / Научная литература / Технические науки / Образование и наука