Теория струн и скрытые измерения вселенной

Гипотеза Плато оставалась недоказанной вплоть до 1930 года, когда Джесси Дуглас и Тибор Радо независимо друг от друга нашли решение этой проблемы. За свою работу в этой области Дуглас получил в 1936 году медаль Филдса, став первым обладателем этой награды.

Рис. 3.7. Математик Уильям Микс (фотография Хоакина Переза)

Не всякая минимальная поверхность столь же проста, как мыльная пленка. Некоторые минимальные поверхности, над которыми ломают головы математики, намного сложнее и характеризуются многочисленными изгибами и складками, называемыми особенностями, или сингулярностями, — впрочем, многие из них встречаются в природе. Через несколько десятилетий после того, как Дуглас и Радо опубликовали свои работы, их разработки были продолжены стэнфордским математиком Робертом Оссерманом, автором блестящей книги по геометрии под названием «Поэзия Вселенной», который показал, что минимальные поверхности, фигурирующие в экспериментах, подобных экспериментам Плато, могут иметь только один тип особенностей, выглядящих как диски или плоскости, пересекающиеся по прямым линиям. Следующий шаг был совершен мной и Уильямом Миксом, профессором Массачусетского университета, с которым мы вместе учились в Беркли.

Рис. 3.8. Лемма Дена, геометрическая версия которой была доказана Уильямом Миксом и автором данной книги (Яу), обеспечивает математический метод для преобразования пересекающихся поверхностей в поверхности без пересечений, складок и других особенностей. Лемму обычно формулируют в терминах топологии, но геометрический подход Микса и Яу дает более точное решение

Мы рассмотрели ситуацию, в которой в роли минимальных поверхностей выступали так называемые вложенные диски, представляющие собой поверхности, которые на всем своем протяжении ни разу не изгибаются настолько, чтобы пересечь сами себя. Локально подобное пересечение выглядело бы как пересечение двух или нескольких плоскостей. В частности, нас заинтересовали выпуклые тела, то есть такие объекты, для которых отрезок прямой (или геодезическая линия), соединяющий любые две точки, всегда будет лежать на поверхности или внутри данного объекта. Таким образом, куб и сфера являются выпуклыми объектами, а седло — нет. Любые полые тела, обладающие выступами или имеющие форму полумесяца, не считаются выпуклыми, поскольку отрезки, соединяющие некоторые точки, обязательно будут выходить за пределы тела. Нами было доказано, что для любой замкнутой кривой, которую можно нарисовать на поверхности выпуклого тела, минимальная поверхность, опирающаяся на данную кривую, всегда будет вложенной, то есть не будет иметь тех складок или пересечений, которые упоминал Оссерман. Иными словами, в выпуклых пространствах все идет гладко и красиво.

Таким образом мы разрешили важнейший вопрос геометрии, являвшийся предметом дискуссий на протяжении десятилетий. Впрочем, на этом история не закончилась. Для доказательства данной версии теоремы Плато мы с Миксом использовали некую лемму, называемую леммой Дена.

(Леммой в геометрии называется вспомогательное утверждение, доказанное исключительно с целью доказательства в дальнейшем более общего положения.) Долгое время считалось, что эта лемма была доказана в 1910 году немецким математиком Максом Деном, однако по прошествии десяти лет в его доказательстве была обнаружена ошибка. Ден утверждал, что для случая трехмерного пространства диск, имеющий особенность, то есть самопересечение под углом или крест-накрест, можно заменить на другой диск, не имеющий каких-либо особенностей и опирающийся на тот же контур. В случае своей истинности это утверждение было бы весьма полезно, поскольку оно изрядно упростило бы работу геометров и топологов, предоставив им возможность заменять самопересекающиеся поверхности поверхностями, не имеющими подобных пересечений.

Окончательное доказательство леммы Дена было найдено в 1956 году греческим математиком Христосом Папакирьякопулосом. Это событие было запечатлено в шуточном стишке Джона Мильнора:

Вероломнейшая лемма Дена

Пред топологом ставила стену.

Но явился Христос

Папакирьякопулос,

Доказав эту лемму мгновенно.