Тайны чисел: Математическая одиссея

После того как в IX столетии в Ираке была создана алгебра, можно было написать формулу, воспроизводящую вавилонский метод. Алгебра была развита возглавлявшим «Дом мудрости» в Багдаде человеком по имени Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. «Дом мудрости» был ведущим интеллектуальным центром своего времени, в него стремились ученые со всего мира для изучения астрономии, медицины, химии, зоологии, географии, алхимии, астрологии и математики. Мусульманские ученые собирали древние тексты и перевели многие из них, по существу, сохранив эти произведения для последующих поколений – без данного посредничества мы могли бы никогда не узнать о древних культурах Греции, Египта, Вавилона и Индии. Однако ученые «Дома мудрости» не довольствовались одними переводами чужих трудов по математике. Они хотели создать собственную математику и всячески способствовать продвижению этого предмета.

Рис. 5.02. Решение квадратного уравнения путем дополнения до квадрата

Интеллектуальное любопытство активно поощрялось в первые столетия мусульманской империи. Коран учил, что мирское знание приближало людей к знанию священному. Фактически религиозная практика требовала математических навыков, потому что праведным мусульманам было необходимо рассчитывать время молитв и определять направление к Мекке для должного совершения ритуалов. Алгебра аль-Хорезми революционизировала математику. Алгебра – это язык, объясняющий закономерности поведения чисел, грамматика которого лежит в основе их взаимодействия. Алгебра чем-то подобна коду для создания исполняемой программы, она будет работать, какие бы числа вы ни ввели. Хотя древние вавилоняне придумали искусный способ решения квадратных уравнений частного вида, именно алгебраическая формулировка аль-Хорезми в конечном счете привела к выражению, которое может быть использовано для решения любого квадратного уравнения. Всякий раз, когда у вас есть квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a, b и c – некоторые числа, показанное геометрическое жонглирование может быть преобразовано в формулу, на одной стороне которой находится х, а на другой стороне – рецепт объединения чисел a, b и c:

Именно эта формула позволяет Руни разобраться с уравнением, контролирующим полет мяча, и определить, на каком удалении он должен стоять. Когда мы покинули его, он понимал, что должен стоять на расстоянии х метров от места штрафного, где

x² – 40 x + 144 = 0.

Используя алгебру, он может вычислить, что должен стоять в 36 м от Бекхэма, чтобы перехватить мяч ударом головы.

Но как он сделал это? Что же, в квадратном уравнении, контролирующем штрафной удар в исполнении Бекхэма, a = 1, b = –40 и c = 144. Поэтому формула для решения этого уравнения говорит нам, что дистанция между Руни и Бекхэмом должна быть

Интересно, что, поскольку –32 также является квадратным корнем из 1024, у нас получается и другое решение: х = 4 м. Это решение отвечает восходящему участку траектории мяча; но Руни будет ждать, пока мяч не начнет опускаться. Потому что помимо положительного квадратного корня всегда имеется отрицательный, данная формула всегда дает нам два решения квадратного уравнения. Чтобы обозначить это, в ней часто пишут знак ± вместо + перед символом квадратного корня.

Конечно, Руни использует значительно более интуитивный подход, не требующий от него совершать вычисления в уме на протяжении 90 минут. Но это обстоятельство демонстрирует, что человеческий мозг почти запрограммирован эволюцией для совершения хороших предсказаний.

Почему бумеранг возвращается назад?

С вращающимися предметами происходят странные явления. Когда вы наносите по футбольному мячу нецентральный удар, он, закручиваясь, отклоняется вбок. Когда вы подкидываете теннисную ракетку, она всякий раз приходит во вращение, прежде чем вы ловите ее. Кажется, что закрученный гироскоп бросает вызов гравитации, удерживая горизонтальное положение. Но классическим примером странного поведения вращающихся предметов является возвращение бумеранга.

Динамика вращающихся предметов очень сложна, она сбивала с толку поколения ученых. Но теперь мы понимаем, что возвращение бумеранга назад обусловлено двумя разными факторами. Первый из них связан с подъемной силой крыла самолета, а второй называется гироскопическим эффектом. Математические уравнения позволяют нам объяснить и в конечном счете предсказать, как геометрия крыла генерирует силу, толкающую его вверх, противодействуя силе гравитации, которая тянет самолет вниз. Крыльям самолета придается такая форма, чтобы воздух обтекал их быстрее сверху и медленнее снизу. Воздух сверху сдавливается и быстрее проталкивается по крылу. По такому же принципу вода течет через трубу: в месте сужения трубы вода течет быстрее.

Одно из основных уравнений гидромеханики, уравнение Бернулли, говорит нам, что бо́льшая скорость воздуха над крылом приводит к меньшему давлению, а меньшая скорость воздуха под крылом приводит к большему давлению. Разность давлений под крылом и над ним создает силу, которая поднимает самолет.