Тайны чисел: Математическая одиссея

Уравнения подобны рецептам. Возьмите ингредиенты, смешайте их определенным образом, и на выходе получится результат. Чтобы составить уравнение, которое будет решать Руни, Галилею нужны следующие ингредиенты: горизонтальная скорость летящего мяча u, его вертикальная скорость v, после того как он оторвался от ноги Бекхэма, а также влияние гравитации, которое обобщается числом g, говорящим, насколько изменяется вертикальная скорость мяча с каждой секундой. Величина g зависит от того, на какой планете вы играете в футбол; на Земле гравитация увеличивает скорость на 9,8 м/с за секунду. Уравнение Галилея тогда сообщает Руни высоту футбольного мяча в любой точке, отсчитывая от того места, где был исполнен штрафной. Например, если расстояние от мяча в горизонтальном направлении до того места, где Бекхэм ударил по нему, составляет x метров, то его высота будет y метров. При этом у задается уравнением

Рецепт представляет набор математических инструкций по обработке всех этих чисел, результатом чего является высота мяча в определенной точке его траектории.

Для того чтобы Руни мог выяснить, как далеко он должен стоять от места штрафного для удара с лета по мячу ногой или головой, он должен провести расчет в обратном направлении и решить уравнение на x. Предположим, он решил ударить по мячу головой. Рост Руни составляет примерно 1,80 м, так что мяч должен быть на высоте y = 1,80 м, если Уэйн хочет ударить по нему без прыжка. Он знает, каковы u, v и g. Давайте выберем некоторые приблизительные числа:

u = 20,v = 10,g = 10.

Для тех из вас, кто беспокоится из-за единиц измерения, замечу, что скорости u и v измеряются в метрах в секунду (м/с), а ускорение g – в метрах в секунду в квадрате (м/с²).

Единственное, чего не знает Руни, – на каком расстоянии от Бекхэма он должен стоять, чтобы правильно перехватить мяч. Но в уравнении закодирована эта информация, правда, она не столь очевидна. Уравнение говорит, что Руни должен стоять от Бекхэма в х метрах, где число х таково, что выполняется равенство:

Немного прихорошив это выражение, мы придем к

x² – 40x + 144 = 0.

Уравнение такого вида должно казаться знакомым – мы все учили в школе, как решать квадратные уравнения. Можно представить, что в нем закодировано истинное значение х.

Поразительно, что первыми людьми, которые начали решать уравнения вроде этого, были древние вавилоняне. Их квадратные уравнения не описывали траектории полета футбольных мячей, но возникли при измерении земельных участков вокруг Евфрата. Квадратное уравнение возникает, когда мы пытаемся узнать какую-либо величину, которая до того была умножена сама на себя. Мы называем эту процедуру возведением в квадрат, потому что она определяет площадь квадрата. Именно в контексте вычисления площадей земельных участков были впервые сформулированы квадратные уравнения.

Вот типичная задача. Если площадь прямоугольного поля 55 квадратных единиц, а одна сторона короче другой на 6 единиц, какова длина большей стороны прямоугольника? Если мы обозначим бо́льшую сторону x, то условие задачи говорит нам, что x × (x – 6) = 55, или, делая упрощения:

x² – 6x – 55 = 0.

Но как выполнить декодирование этого математического шифра?

Вавилоняне придумали изящный метод для решения этой задачи: они рассекали прямоугольник и перекладывали его части так, чтобы получился квадрат, а с этой формой легче обращаться. Мы можем разделить наше прямоугольное поле на участки так, как сделали бы вавилонские писцы тысячи лет назад (рис. 5.02).

Начните с того, что отрежьте маленький прямоугольник размером 3 × (x – 6) единиц от края прямоугольника и поместите его снизу. Общая площадь не изменилась, поменялась лишь форма. Она почти представляет собой квадрат, не хватает лишь маленького квадратика размером 3 × 3 в углу. Если мы добавим этот маленький квадратик, то площадь формы увеличится на 9 единиц. Следовательно, площадь получившегося большого квадрата есть 55 + 9 = 64. Теперь нам предстоит решить простую задачу по извлечению квадратного корня из 64. Так мы находим, что длина стороны квадрата равна 8. Но эта же длина равна x – 3, поэтому x – 3 = 8, то есть x = 11. Хотя мы лишь перемещали воображаемые земельные участки, за этой процедурой лежит общий метод декодирования таинственных квадратных уравнений.