Тайны чисел: Математическая одиссея

Эта проблема аналогична той, что стояла перед нашими исследователями мира, у которого конечная площадь поверхности, но нет ни краев, ни границ. Правда, вместо того чтобы быть прижатыми к двумерной поверхности, мы находимся внутри трехмерной Вселенной. Существует ли элегантный способ найти форму этой Вселенной и разрешить очевидный парадокс того, что у нее нет границ и при этом она конечна?

Потребовалось открытие четырехмерной геометрии форм в середине XIX в. для того, чтобы у нас появился возможный ответ. Математики поняли, что четвертое измерение дает им достаточно пространства, чтобы сложить нашу трехмерную Вселенную в формы, у которых конечный объем и при этом нет границ. Так же происходит с конечной по площади двумерной поверхностью Земли или поверхностью бублика, у которых нет краев.

Мы уже видели, как конечная двумерная вселенная в игре «Астероиды» в действительности является поверхностью трехмерного бублика. Но мы же трехмерные путешественники, которые могут перемещаться и в третьем измерении. Возможно, Вселенная, в которой мы живем, подобна вселенной из игры «Астероиды»? Начнем с того, что сделаем стоп-кадр Вселенной после Большого взрыва в тот момент, когда она расширилась до размера вашей спальни. Эта Вселенная размером со спальную комнату конечна по объему, но у нее нет границ – потому что различные части спальни соединены между собой довольно любопытным образом.

Представьте, что вы стоите в середине комнаты лицом к стене (я предполагаю, что у вашей спальни форма куба). Когда вы идете вперед, то не ударяетесь в стену перед вами, а проходите через стену, бывшую за вами. Сходным образом когда вы проходите через стену за вами, то появляетесь из стены впереди. Если вы поменяете направление на 90° и направитесь к стене слева, то, пройдя через нее, вы выйдете из стены справа (и наоборот). Итак, части вашей спальни соединены как в игре «Астероиды».

Но мы – трехмерные путешественники в пространстве, которые могут отправиться и в третьем направлении. Когда мы подлетаем к потолку, то не отскакиваем от него, а проходим сквозь него и выходим из пола. При путешествии в противоположном направлении мы проходим через пол и выходим из потолка.

При этом форма Вселенной соответствует поверхности четырехмерного бублика, или гипербублика. Но подобно тому, как космонавт, запертый в игре «Астероиды», не может выйти из своего двумерного мира, чтобы разглядеть, как свернута вселенная, мы не в состоянии увидеть этот гипербублик. И все же, используя язык математики, мы можем испытать его форму и исследовать его геометрию. К настоящему времени наша Вселенная заметно расширилась за пределы спальной комнаты, но, возможно, она по-прежнему устроена как поверхность гипербублика. Подумайте о свете, который распространяется по прямой линии от Солнца. Быть может, он не исчезает на бесконечности, а, образуя петлю, возвращается назад и попадает на Землю. Если это так, одна из наблюдаемых нами далеких звезд – это наше Солнце, потому что его свет распространялся по всему гипербублику и наконец пришел на Землю. Следовательно, мы можем видеть наше Солнце, когда оно было значительно моложе.

Это кажется невероятным, но представьте, что вы сидите в своей спальне, которая соответствует мини-бублику Вселенной, и зажигаете спичку. Когда вы глядите на стену перед собой, то видите пламя спички перед вами. Теперь обернитесь и посмотрите на противоположную стену. Вы снова увидите спичку, но теперь на несколько большем расстоянии, потому что свет от спички сначала идет к стене перед вами, а затем проходит через противоположную стену и попадает вам в глаз.

Возможно, мы живем не на гипербублике, а на поверхности четырехмерного футбольного мяча. Некоторые астрономы полагают, что мы могли бы жить в форме, которая напоминает додекаэдр с 12 гранями, где как в мини-вселенной размером со спальню, когда вы достигаете одной из граней додекаэдра, то возвращаетесь в вашу вселенную через противоположную грань. Вероятно, мы совершили полный круг и вернулись к той модели, которую Платон предложил две тысячи лет назад. Согласно ей наша Вселенная заключена внутрь стеклянного додекаэдра, к поверхности которого прикреплены звезды. Возможно, современная математика наполнила смыслом эту модель, ведь противоположные грани этой формы теперь соединены и более не представляют стеклянных перегородок вселенной.

Но какие другие формы могли бы быть у нашей Вселенной? Вспомните, как Пуанкаре провел классификацию всех возможных форм, которые могли бы быть у двумерных поверхностей, таких как поверхность нашей планеты. Поверхность может быть свернута как футбольный мяч, бублик, брецель с двумя дырками, с тремя дырками или с большим количеством дырок. Пуанкаре доказал, что какие бы другие формы вы ни постарались изготовить, их можно деформировать в сферу или брецель с дырками.