Тайны чисел: Математическая одиссея

Если эта форма – линия, количество клеток на бумаге возрастает в 2 раза. Если форма – квадрат, то число клеток увеличится в 4 раза, или в 2². Каждый раз, когда мы уменьшаем размеры клеток на бумаге в 2 раза, число квадратиков, содержащих часть одномерной формы, увеличивается в 2 раза, в то время как для двумерной формы увеличение характеризуется множителем 2². Размерность соответствует степени 2.

Любопытно, что, если вы примените данную процедуру к фрактальной береговой линии, которую мы построили ранее в главе, то увеличение количества клеток при уменьшении их размеров в 2 раза описывается приблизительным множителем 2^1,26. Итак, с этой точки зрения у нас есть все основания сказать, что размерность равна 1,26. Таким образом, мы создали новое определение размерности.

Вместо клетчатой бумаги вы можете анализировать эти формы с помощью пикселей компьютерного дисплея. Пусть пиксель будет черным, если он содержит часть исследуемой формы, и белым в противном случае. При увеличении разрешения экрана размерность характеризует увеличение количества черных пикселей. Например, если вы переходите от разрешения 16 × 16 пикселей к разрешению 32 × 32, то для линии количество черных пикселей удваивается. Для квадрата увеличение количества черных пикселей описывается множителем 4, или 2². Для количества черных пикселей в компьютерном изображении снежинки Коха соответствующий множитель равен 2^1,26.

В каком-то смысле фрактальная размерность говорит нам, в какой мере эта бесконечная фрактальная линия стремится заполнить пространство, в котором она находится. Давайте построим несколько вариантов нашей фрактальной береговой линии, в которых мы будем делать угол между сторонами, добавляемыми к побережью, все меньше и меньше. При этом результат занимает все больше и больше пространства. Когда мы вычислим размерность каждой из береговых линий в этой последовательности, мы обнаружим, что она все ближе и ближе подходит к 2 (рис. 2.32).

Рис. 2.32. При изменении угла треугольника получающийся фрактал занимает все больше пространства, и его фрактальная размерность возрастает

Если проанализировать фрактальные размерности форм, встречающихся в природе, то обнаружатся некоторые интересные обстоятельства. Фрактальная размерность береговой линии Британии оценивается в 1,25, что довольно близко к показателю построенного нами математического побережья. Мы можем представить себе, что фрактальная размерность говорит нам, как быстро возрастает длина побережья, когда мы используем все более короткие линейки для ее измерения. Фрактальная размерность побережья Австралии оценивается в 1,13, что указывает в каком-то смысле на его менее сложную форму, чем у побережья Британии. Довольно поразительно, что фрактальная размерность береговой линии Южной Африки составляет лишь 1,04, это свидетельствует, что она весьма гладкая. Вероятно, самое фрактальное из всех побережий – у Норвегии с ее фьордами, оно характеризуется размерностью 1,52.

Рис. 2.33. Какова размерность береговой линии Британии?

Для предметов в трех измерениях мы также можем воспользоваться этим трюком, но клетчатую бумагу нужно заменить ячеистой структурой из кубиков. Нужно проследить, как изменяется количество кубиков, с которыми пересекается изучаемая форма, когда их размеры становятся все меньше и меньше. У цветной капусты при этом получается размерность 2,33, у листа бумаги, смятого в шар, будет 2,5, брокколи довольно замысловата с ее 2,66, и поразительно, что фрактальная размерность поверхности человеческого легкого равна 2,97.

Можно ли подделать Джексона Поллока?

Осенью 2006 г. картина, написанная художником XX в. Джексоном Поллоком, стала самой дорогой из когда-либо проданных. По сообщениям прессы, мексиканский финансист Дэвид Мартинес заплатил 140 миллионов долларов (что тогда соответствовало 75 миллионам фунтов) за картину с простым названием «№ 5, 1948».

Картина была создана с использованием фирменной техники Поллока – разбрызгивания краски по холсту. За свою манеру письма он был прозван «Джеком-оросителем»[5]. Критики были шокированы ценой, которая была уплачена за подобное произведение, заявляя: «Что же, я сам мог бы нарисовать такую картину!» На первый взгляд действительно кажется, что любой мог бы разбрызгать краску и надеяться стать миллионером. Но математики обнаружили, что Поллок действовал значительно тоньше, чем можно было бы подумать.