Тайны чисел: Математическая одиссея

Это подобие пробудило любопытство Мандельброта и привело его к открытию, что у графиков различных несвязанных наборов экономических данных будет сходство в форме. Сверх того, формы будут сохраняться независимо от временного масштаба. Например, изменения цен на хлопок за восемь лет напоминают изменения за восемь недель, а последние сильно походят на изменения за восемь часов.

То же самое явление наблюдается и при измерении побережья Британии. Возьмите, например, изображения, приведенные ниже. На каждом из них показаны участки береговой линии Шотландии. Одно взято с карты масштаба 1: 1 000 000. Другие представляют значительно более детальные карты, масштаба 1: 50 000 и 1: 25 000 соответственно. Но удастся ли определить по изображению на карте ее масштаб? Сколь бы вы ни увеличивали или, напротив, ни уменьшали масштаб, у этих форм сохранится тот же уровень сложности. Подобное утверждение несправедливо в отношении всех форм. Если вы нарисуете волнистую линию и будете увеличивать какую-то ее часть, то с некоторого момента она будет выглядеть довольно просто. В отличие от этого береговая линия или графики Мандельброта при сколь угодно большом увеличении сохраняют сложность своей формы.

Рис. 2.29. Береговая линия Шотландии при разных увеличениях. Используются исходные карты масштаба 1: 1 000 000, 1: 50 000 и 1: 25 000 (слева направо)

Когда Мандельброт продолжил свои изыскания, он обнаружил, что эти странные формы, сохраняющие крайнюю сложность независимо от степени увеличения, с которой вы разглядываете их, встречаются во всей природе. Если вы отломите соцветие от цветной капусты и увеличите его, оно будет замечательно походить на исходную головку цветной капусты. Если вы поглядите на увеличенный участок извилистой молнии, то, вместо того чтобы быть прямым, он будет выглядеть как копия молнии в целом. Мандельброт назвал эти формы фракталами и отнес их к «геометрии природы», поскольку они представляют подлинно новый вид, осознанный в полной мере лишь в XX в.

У эволюции этих фрактальных форм в природе имеются практические причины. Фрактальное устройство человеческих легких означает, что, хотя они помещаются внутри ограниченного объема грудной клетки, их поверхностная площадь огромна, следовательно, они могут поглощать большое количество кислорода. То же относится и к другим органическим объектам. Папоротники, к примеру, стремятся увеличить свою освещенность солнцем, не занимая при этом слишком много места. Все это обусловлено способностью природы находить формы с величайшей эффективностью. Подобно тому как пузырь обнаружил, что сфера – это то, что лучше всего подходит его нуждам, живые организмы, напротив, пошли в другой конец спектра, выбрав фрактальные формы с бесконечной сложностью.

Поразительно, что, несмотря на эту бесконечную сложность фракталов, их можно генерировать с помощью очень простых математических правил. С первого взгляда крайне трудно поверить, что причудливость природного мира может быть основана на простой математике, но теория фракталов обнаружила, что даже самые сложные структуры природного мира могут быть созданы нехитрыми математическими формулами.

Рис. 2.30. Фрактальный папоротник

Рисунок 2.30 похож на папоротник, но в действительности это компьютерное изображение, полученное с помощью простого математического правила, напоминающего то, которое мы использовали, чтобы изготовить снежинку Коха. Компьютерная промышленность воспользовалась этой идеей для создания сложного естественного фона в компьютерных играх. Хотя у игровой приставки может быть весьма ограниченный объем дискового пространства, простое правило из математики фракталов помогает ей сгенерировать необычайно сложную окружающую среду.

Каким образом у формы может быть размерность 1,26?

Формы, с которыми математики сталкивались до того, как на сцену вышли фракталы, были одно-, дву– или трехмерными: одномерная линия, двумерный шестиугольник, трехмерный куб. Но одно из самых поразительных открытий в теории фракталов состояло в том, что размерность этих новых форм больше 1, но меньше 2. Если вы достаточно отважны, я предлагаю вам объяснение того, как у формы может быть размерность между 1 и 2.

Трюк состоит в том, чтобы предложить умный способ, позволяющий понять, почему линия одномерна, а квадрат двумерен. Представьте, что вы взяли прозрачный лист клетчатой бумаги, положили его на исследуемую форму и сосчитали, сколько квадратиков содержат часть формы. Затем возьмите лист клетчатой бумаги, стороны квадратиков которой в два раза меньше, чем у первоначальной.

Рис. 2.31. Как вычислить размерность фрактала, используя клетчатую бумагу. Размерность характеризует увеличение количества пикселей при уменьшении их размера