Тайны чисел: Математическая одиссея

За время, проведенное у Сакса, близнецы сумели достичь девятизначных простых чисел. Конечно, никто не нашел бы удивительным, обменивайся они нечетными числами или даже квадратами чисел. Поразительно было, что они использовали простые числа, которые настолько случайно распределены. Объяснение тому, что это у них получалось, возможно, крылось в другой способности братьев. Они часто появлялись на телевидении и впечатляли аудиторию своим умением определить, что, скажем, 23 октября 1901 г. было средой. Решение задачи о том, каким был день недели с названной датой, осуществляется с помощью модульной (модулярной) арифметики. Наверное, близнецы поняли, что модульная арифметика также играет ключевую роль в определении того, является ли число простым.

Возьмите какое-либо число, скажем, 17 и вычислите 2¹⁷. Если остаток от деления полученного числа на 17 равен 2, то у вас будет хорошее свидетельство в пользу того, что число 17 является простым. Этот тест на простоту числа зачастую неверно приписывают китайцам. На самом деле французский математик XVII в. Пьер де Ферма доказал, что если остаток не равен 2, то число 17 наверняка не является простым. В более общем случае если вы хотите проверить, что число p не является простым, то вычислите 2^p и разделите результат на p. Если остаток не равен 2, то число p не может быть простым. Некоторые люди допускали, что близнецы, обладая способностью определять дни недели, опирающейся на схожую технику нахождения остатков при делении на 7, вполне могли прибегать к данному тесту при нахождении простых чисел.

Сначала математики думали, что если у 2^p остаток от деления на p равен 2, то число p должно быть простым. Но, как оказалось, этот тест не гарантирует простоты. Так, 341 = 34 × 11 не является простым, но тем не менее остаток 2³⁴¹ от деления на 341 равен 2. Данный пример был открыт лишь в 1819 г., и, возможно, братья-близнецы знали, что требуется более изощренный тест, который исключил бы 341. Ферма выяснил, что в тесте можно не ограничиваться степенями 2. Он доказал, что если число p – простое, то для любого числа n, меньшего p, остаток от деления n^p на p равен n. Значит, если вы найдете какое-либо число n, для которого тест проваливается, то необходимо отбросить p как самозванца, не являющегося простым.

Например, остаток от деления 3³⁴¹ на 341 равен не 3, а 168. Конечно, близнецы никак не могли прогонять тест, используя все числа, меньшие их кандидата на роль простого, – потребовалось бы слишком много времени. Однако, как оценил великий венгерский кудесник простых чисел Пал Эрдёш (хотя он не мог доказать это строго), шанс того, что число, меньшее 10¹⁵⁰, пройдет тест Ферма один раз и не окажется простым, настолько низок, как 1 из 10⁴³. Вероятно, для близнецов один прогон теста был достаточен, чтобы заявить о нахождении простого числа.

Игра в классики с простыми числами

В этой игре для двух участников знание простых чисел-близнецов может дать вам преимущество.

Запишите числа от 1 до 100 либо загрузите поле для игры в классики с веб-сайта «Тайн 4исел». Первый игрок берет фишку и кладет ее на простое число, отстоящее от квадрата 1 не более чем на 5 шагов. Затем фишку берет второй игрок, он должен положить ее на большее простое число, отстоящее от предыдущего положения фишки не более чем на 5 шагов. Далее снова делает ход первый игрок, ему необходимо переместить фишку на еще большее простое число, которое удалено не более чем на 5 шагов. Проигравшим считается тот участник, который не может сделать ход по правилам. Правила таковы: 1) фишку нельзя передвигать более чем на 5 шагов; 2) ее нужно класть на простое число; 3) нельзя ходить назад либо оставаться на месте.

Рис. 1.21. Пример игры в классики с простыми числами с максимальным перемещением в 5 шагов

На рис. 1.21 показан типичный сценарий. Игрок 1 проиграл, потому что игрок 2 положил фишку на 23, а среди пяти следующих за 23 числами нет простых. Мог ли игрок 1 сделать более удачный начальный ход? Если вы приглядитесь внимательнее, то поймете, что после того, как пройдено 5, выбора уже не остается. Кто бы ни положил фишку на 5, должен в итоге оказаться победителем, так как впоследствии он сможет переместить фишку с 19 до 23, оставив оппонента без хода. Так что начальный ход имеет решающее значение.

Но что будет, если мы немного изменим правила игры? Скажем, фишку разрешается передвигать максимум на семь шагов вперед. Игроки теперь смогут пройти дальше. В частности, они смогут пройти дальше 23, потому что 29 находится в шести шагах, то есть в пределах досягаемости. Будет ли теперь иметь значение начальный ход? И когда игра остановится? Если вы сыграете в нее, то обнаружите, что у вас теперь появится больший выбор, в особенности когда на пути появляются простые числа-близнецы.