Тайны чисел: Математическая одиссея

На первый взгляд при столь большом количестве вариантов ваш первый ход не имеет значения. Но снова присмотритесь получше. Вы проигрываете, когда фишка соперника оказывается на 89, потому что следующее за ним простое число 97 находится в восьми шагах. Если вы проследите путь назад, то поймете, что ключевым оказывается число 67. Ведь вслед за ним нужно положить фишку либо на 71, либо на 73. Один из этих двух ходов оказывается выигрышным, а другой проигрышным, после выбора ходы будут предопределены. Если заставить соперника положить фишку на 67, то игра может быть выиграна, число 89 не так важно. Но как добиться этого?

Если вы продолжите возвращение назад по ходу игры, то поймете, что ключевым является решение после простого числа 37. От него вы можете перейти на одно из двух простых чисел-близнецов моих дочерей, 41 и 43. Тот, кто сделает ход на 43, может гарантированно выиграть игру. Итак, теперь все сводится к тому, что в игре побеждает участник, который заставит оппонента положить фишку на 37. Продолжение движения назад по ходу игры позволяет понять, что действительно существует начальный ход, позволяющий добиться выигрыша. Положите фишку на 5, и если вы будете принимать правильные решения, то гарантированно сумеете победить. Вы завершите игру, положив фишку на 89, а соперник не сможет сделать ход.

А если мы будем увеличивать максимально допустимый прыжок все больше и больше, будет ли игра всегда завершаться? Что будет, например, если мы позволим каждому игроку перемещаться максимум на 99 шагов? Можем ли мы быть уверены, что игра не затянется навечно, потому что на расстоянии до 99 шагов от простого числа может найтись следующее простое число? В конце концов, как мы знаем, существует бесконечно много простых чисел, так что вдруг удастся перепрыгивать от одного простого числа к следующему.

Но в действительности можно доказать, что игра завершится всегда. Каким бы вы ни сделали максимальный прыжок, всегда существует больший по длине интервал чисел, внутри которого нет ни одного простого. Давайте посмотрим, как найти 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Возьмите число 100 × 99 × 98 × 97 × … × 3 × 2 × 1. Такое число записывается как 100! и называется факториалом 100. Мы воспользуемся следующим важным фактом: любое число от 1 до 100 является делителем 100!.

Теперь рассмотрим последовательные числа:

100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, …, 100! + 98, 100! + 99, 100! + 100.

100! + 2 – составное число, потому что делится на 2. Аналогично делителем 100! + 3 будет 3 (100! делится на 3, если мы добавим к этому число 3, то результат будет по-прежнему делиться на 3). Действительно, все числа этой последовательности составные. Возьмите, к примеру, 100! + 53. Оно не является простым, потому что 100! делится на 53, а если мы прибавим 53, то результат будет по-прежнему делиться на 53. Мы нашли 99 последовательных чисел, ни одно из которых не является простым. Причина, по которой мы начали со 100! + 2, а не со 100! + 1, состоит в том, что наш простой метод позволяет лишь заключить, что 100! + 1 делится на 1, что не позволяет сказать, простое ли это число (в действительности оно не является таковым).

Итак, мы установили, что если максимальный прыжок равен 99, то наша игра в классики должна когда-нибудь закончиться. Но число 100! до нелепости большое. На самом деле игра в классики закончится задолго до него. Первое простое число, за которым следует 99 составных подряд, это 396 733.

Данная игра несомненно помогает понять, насколько случайным образом рассеяны простые числа во вселенной всех чисел. Но, даже если мы не в состоянии найти хитроумный способ, позволяющий перейти от одного простого числа к следующему, может быть, мы сумеем написать разумные формулы, которые выдают простые числа?

На следующем веб-сайте содержится информация о том, как завершится игра в классики при все большем и большем допустимом прыжке: http://bit.ly/Primehopscotch.

Можно ли использовать подсолнухи и кроликов в поиске простых чисел?

Сосчитайте количество лепестков подсолнуха. Часто такой подсчет дает 89, простое число. Количество одиннадцати поколений пар кроликов также 89. Может быть, кролики и цветы нашли секретную формулу для нахождения простых чисел? Не совсем. Им нравится 89 не оттого, что оно простое, а потому, что оно принадлежит к другим любимым числам природы – числам Фибоначчи. Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи, открыл эту важную последовательность чисел в 1202 г., когда пытался понять, как размножаются кролики (скорее не в математическом, а в биологическом аспекте).