Расколотый мир

верно для любого элемента a ∈ A. В этом случае подгруппу A' называют нормальной или инвариантной подгруппой группы A. Ясно, что в коммутативной группе всякая ее подгруппа, включая и ее саму, является нормальной. Два смежных класса могут быть равными и тогда, когда элементы a и b не равны. Это происходит в том случае, если элемент a^-1 лежит в подгруппе А:

Ясно, что произведение a^-1b на подгруппу, которая содержит этот элемент, равно самой этой подгруппе, из чего следует последнее равенство в выражении (14). Покажем далее, что два различных смежных класса не имеют ни одного общего элемента. Если бы два смежных класса содержали общий элемент, например, ac₁ = bc₂, где c₁ и c₂ элементы из A', то из этого следовало бы, что

А из этого в силу (14) следует, что классы aA' и bA' совпадают. Таким образом, множество смежных классов по данной подгруппе образует разбиение исходной группы на классы эквивалентности. Исходя из этого, можно вывести важное соотношение между порядком группы (напомним, что порядок группы равен числу ее элементов, если группа конечна), порядком подгруппы и числом смежных классов по данной подгруппе. Ясно, что если группа А распадается на k классов, в каждом из которых содержится ровно столько элементов, сколько в подгруппе, то можно записать равенство

где Х – порядок группы А, а х – порядок группы A'. Возвращаясь к нашему примеру группы подстановок эмоциональных состояний человека, можно сказать, что множество подстановок, входящее в нормальную подгруппу (четверную подгруппу Клейна), представляет собой множество типичных эмоциональных состояний человека, в то время как все остальные возможные эмоциональные состояния входят в те или иные смежные классы, определенные по данной нормальной подгруппе. Аппарат теории групп позволяет, таким образом, существенно усовершенствовать подход к определению психологических типов (по тем или иным признакам) как набора непересекающихся множеств людей.

Ранее мы показали: для того чтобы один объект можно было рассматривать в качестве модели другого, должно существовать сюрьективное отображение множества элементов модели на множество элементов моделируемого объекта. В этом параграфе мы ввели понятие алгебры как модели, состоящей из абстрактных элементов (т. е. абстрактной модели). Оперирование с такими абстрактными моделями, как было показано на примере групп, является гораздо более экономичным, чем оперирование с реальными объектами, кроме того, математическая теория абстрактных моделей ограждает исследователя от ошибок. Следовательно, необходимо ввести правило, позволяющее заменять любые имеющиеся модели на абстрактные. Для этого необходимо построить отображение одной модели в другую, причем это отображение должно быть биективным или взаимно однозначным. Важно, однако, сохранить не только взаимную однозначность перехода элементов одной модели в элементы другой, но также и однозначность действия операции или, в общем случае, сохранение отношений между элементами. Следовательно, отображение одной модели в другую (абстрактную) должно удовлетворять следующим двум условиям:

Такое отображение называется изоморфизмом. Если, однако, отображение f не биективно, а сюрьективно, то оно называется гомоморфизмом. В этом последнем случае абстрактная модель уже не полно отражает модель-объект. Тем не менее чаще всего с этим приходится мириться, так как добиться изоморфизма моделей бывает очень трудно или невозможно.

Среди алгебр крайне важными являются такие структуры с двумя заданными внутренними операциями. Пусть на множестве определены операции сложения и умножения, которые ставят в соответствие любой паре элементов множества соответственно их сумму и произведение, это множество называется кольцом, если: 1) относительно операции сложения исходное множество образует абелеву группу; 2) действие операции умножения над исходным множеством удовлетворяет закону ассоциативности: а × bс = ab × c; 3) две операции связаны между собой законом дистрибутивности:

1.4. Линейные пространства