Расколотый мир

Исследуя закономерности формирования детского интеллекта, Ж.Пиаже показал, что развитие операциональных способностей детей идет в направлении формирования структур операций, удовлетворяющих условиям группы. Действительно, с началом овладения ребенком речью (после первого года жизни) он уже способен осмысленно выполнять некоторые операции с объектами окружающего мира. Через некоторое время ребенок уже способен комбинировать операции, например, он способен положить несколько формочек одну в другую, затем ребенка можно научить выполнять операции в определенном порядке, например, складыванию пирамидки. Однако эти операции еще не являются ассоциативными: ребенок может их выполнять только в одном усвоенном порядке. Несколько позже множество операций уже удовлетворяет закону ассоциативности; так как формируются обратные операции и тождественная операция, выступающая в качестве нейтрального элемента (надеть это колечко, снять то колечко, оставить это колечко на месте). Таким образом, относительно наиболее простых из окружающих предметов у ребенка довольно рано формируются структуры операций, являющиеся группами. Операции с другими, более сложными объектами формируются несколько позже, многочисленные примеры того можно найти в трудах Ж.Пиаже. Здесь, однако, надо отметить, что сами объекты внешнего мира не всегда позволяют совершать с ними все те операции, которые должны входить в множество, называемое группой. Так, например, если смешать две жидкости, то их обычно уже невозможно вновь отделить одну от другой. Из этого, однако, не следует, что интеллект человека не владеет такой обратной операцией. Действительно, представьте себе, что хозяйка смешала две жидкости в неправильной пропорции. Для установления и исправления этого факта ей необходимо вновь представить жидкости несмешанными, что она с легкостью делает. Таким образом, приобретение множеством усвоенных человеком операций свойств группы (в смысле математико-психодинамического моделирования его поведения) может выступать в качестве критерия зрелости человеческого интеллекта, как, впрочем, и личности в целом. Г. Гельмгольц писал, что прежде чем сделать какое-либо обобщение, он всегда переживал стадию, когда объект его изысканий был целиком представлен в уме без опоры на записи и выкладки. Эту стадию сопровождало переживание свободы комбинаций и перекомбинаций мыслей, их соединения и разъединения, совместного рассмотрения утверждений и отрицаний. Мы видели, что объект, с которым совершаются операции, не всегда позволяет совершать все те операции, которые входят в структуру групп. При этом человек, естественно, располагает знанием о том, какие операции он не может совершить, какие являются необратимыми, и т. д., следовательно, некоторые элементы группы операций являются как бы помеченными. Такие структуры знания Ж.Пиаже назвал группировками, а Б.Гриз в специальной работе формализовал понятие группировки, дополнив множество условий, определяющих группу.

Пусть теперь элементами исходного множества являются взаимно однозначные (биективные) отображения некоторого множества A в себя. Такие отображения называются подстановками. Например, пусть имеется множество A = {1, 2, 3, 4}. Тогда смена: 1234 → 2413 изображает подстановку элементов множества А, в которой 1 переходит в 2, 2 в 4, 3 в 1, 4 в 3. В силу биективности отображения мы легко можем построить обратное к нему, где 2 переходит в 1, 4 в 2, 1 в 3, 3 в 4. Точно так же можно определить нейтральное, или, как говорят, тождественное отображение, которое переводит каждый элемент в себя. Определим теперь операцию произведения подстановок как последовательное их выполнение. Обозначим вышеприведенную подстановку буквой «с» и выберем еще некоторую подстановку «р» элементов множества А: 1234 → 3142.

Для того чтобы построить произведение двух подстановок мы должны к результату подстановки «c» применить подстановку «р», которая переводит: 1→3, 2→1, 3→4, 4→2. Мы получим новую подстановку:

1234 → 2413 → 1234.

Мы получили тождественную подстановку, следовательно, р = с^-1, a с = p^-1. Легко видеть, что заданная на множестве подстановок операция подчиняется закону ассоциативности, а следовательно, множество подстановок, заданных над множеством А, является группой. Заметим также, что множество подстановок некоторого конечного множества, состоящего из k элементов, называют также симметрической группой порядка k.