Простые числа

Гаусс заметил, что в третьем столбце значения растут каждый раз примерно на две единицы. Проявляется следующая закономерность: с каждой строкой диапазон чисел увеличивается в десять раз, а доля простых чисел — на две единицы. Эта связь между произведением и суммой характерна для логарифмов. У Гаусса таблицы логарифмов и список простых чисел были в одной и той же книге. Благодаря этому у него и возникла идея нового инструмента исследований. Логарифмы стали новым объективом на математическом телескопе. Как мы уже видели на примере логарифмов по основанию 10, каждый раз при умножении числа на 10 десятичный логарифм этого числа увеличивается на единицу, что означало, что это основание не совсем вписывалось в схему Гаусса, и поэтому он решил взять логарифм по основанию е, числу, аналогичному числу π. Его примерное значение равно:

е = 2,71882818284590452354…

Это бесконечное десятичное число появляется в математике примерно так же часто, как π. Логарифмы по основанию е называются «натуральными логарифмами».

По вышеприведенному определению, натуральные логарифмы следовало бы обозначать log_e, однако на калькуляторах имеются две отдельные клавиши: log — для десятичных логарифмов, а In — для логарифмов по основанию е.

Таким образом, Гаусс сформулировал следующую гипотезу: при больших х значения π(x)/x приближаются к 1/ln x, что можно записать как

π(x)/x примерно = 1/ln x (для больших значений х).

Этот результат является оценкой частоты, с которой простые числа встречаются в последовательности натуральных чисел. Предположим, что Р(N) — число простых чисел, меньших N. Формула утверждает, что с ростом N отношение N/P(N) приближается к натуральному логарифму N.

Это самый простой способ применения формулы Гаусса, если мы хотим оценить, сколько существует простых чисел, меньших, чем заданное число. Например, нам задали следующий вопрос: «Сколько простых чисел в первой тысяче натуральных чисел?»

Возьмем калькулятор и выполним следующие действия:

1) наберем число 1000;

2) нажмем клавишу In;

3) нажмем клавишу 1/х;

4) умножим результат на 1000.

Мы получим число 144,76482730108394255037630630554, что позволит нам дать следующий ответ: «В первой тысяче натуральных чисел встречается примерно 145 простых чисел». Это, конечно, лишь приблизительная оценка, так как на самом деле в первой тысяче 168 простых чисел. Тем не менее, мы должны иметь в виду, что теорема дает все более точный результат при увеличении числа N, и уже с большей уверенностью мы можем сказать, что, например, в первом миллиарде 5,1 % натуральных чисел являются простыми.

Теперь мы можем расшифровать, что именно Гаусс имел в виду, когда оставил заметку в своей записной книжке:

«Простые числа, меньшие 

«Простые числа, меньшие а» — то же самое, что и π(a);

«lа» в современных терминах записывается как In a

означает, что равенство наиболее верно для очень больших значений а (когда а стремится к бесконечности).

* * *

КОЛОКОЛООБРАЗНАЯ КРИВАЯ ГАУССА

В возрасте 18 лет Гаусс открыл «метод наименьших квадратов», и это вызвало его особый интерес к теории ошибок. Он разработал метод статистического анализа, в котором нормальное распределение ошибок изображается колоколообразной кривой. Это, без сомнения, самая известная кривая в математике, и ее обычно называют «гауссовой кривой нормального распределения». Этот метод принес значительные доходы и самому Гауссу, когда он начал систематическое изучение тенденций международного фондового рынка. Эти данные печатались в зарубежных газетах, которые постоянно имелись в университетских холлах. Колоколообразная кривая очень пригодилась, и доход, который Гаусс имел от этих исследований, значительно превышал его профессорское жалованье.