Простые числа

МНОГОУГОЛЬНИК ГАУССА

Построение правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки было одной из нерешенных задач еще со времен греческих геометров. Можно было построить лишь многоугольники с тремя, четырьмя, пятью и пятнадцатью сторонами, а также с их удвоенными количествами. 30 марта 1796 г. Гаусс нашел способ построения многоугольника с 17 сторонами. Этот день стал знаменательным днем его карьеры. Тогда же он начал вести научный дневник, охватывающий период 1796–1814 гг. Эти записи считаются в математике настоящим бриллиантом, потому что содержат все научные открытия Гаусса.

Однако, возможно, наиболее важным является то, что в тот день Гаусс решил посвятить себя математике, а не изучению языков и филологии, где также проявилась его гениальность.

* * *

В настоящее время этот результат известен как «теорема о распределении простых чисел» и является одним из самых важных в истории математики. Хаотическое множество простых чисел, казалось, удалось приручить. Появилась функция для их изучения, которая со временем привела к еще более точным результатам.

Гаусс не дожил до успеха своей теоремы. И это не связано с секретностью, как часто бывало с другими математиками. Не связано это и с подходом Ферма, который не приводил доказательств, ссылаясь на то, что они слишком длинные. У Гаусса хватило бы бумаги для любых доказательств, какими длинными они бы ни были.

Гаусс не дожил до успеха своей теоремы просто потому, что у него не было возможности ее доказать. Благодаря работам Эйлера математика поднялась на новый уровень, где теории формулировались в логической последовательности, оставив в прошлом неопределенные методы и сомнительные практики. Интуиция, являющаяся ключом к любым открытиям, должна была подкрепляться солидной теоретической основой. Доказательство теоремы стало объективным аргументом, который, благодаря простому языку чисел, приобретал статус истины.

Гипотеза Гаусса стала теоремой лишь век спустя: в 1896 г. Жак Адамар (1865–1963) и Шарль Жан Ла Валле Пуссен (1866–1962) одновременно, но независимо друг от друга доказали ее. Из всех теорем в теории простых чисел гипотеза Гаусса занимает особое место с точки зрения истории математики: не только из-за своей красоты, но и из-за огромного влияния, которое она оказала на методы исследований простых чисел.

Портрет Гаусса изображен на лицевой стороне немецкой банкноты 10 марок на фоне кривой, известной как колоколообразная кривая Гаусса. На обороте банкноты изображен секстант — инструмент, который использовался при создании одной из первых геодезических сетей в мире недалеко от Гамбурга, как показано в нижнем правом углу. Понятие «геодезических», то есть кратчайших линий, соединяющих две точки на поверхности, является ключевым понятием в геометрии и еще одним научным вкладом немецкого гения.

Глава 5 Краеугольные камни

В основе современной теории простых чисел лежат три краеугольных камня: модульная арифметика, комплексные числа и теория аналитических функций. Все они, а особенно последний, требуют существенных математических знаний. Однако некоторые аспекты теории чисел можно легко понять: например, визуализацию функций в четырехмерном пространстве. Это и поможет нам оценить роль дзета-функции Римана в наведении порядка в хаотической последовательности простых чисел.

Магические суммы

Как известно, числа имеют особые символические значения, связанные с различными мистическими верованиями. В западном мире большинство таких символических значений имеет свои корни в Библии или в пифагорейской школе. «Все познаваемое имеет число. Ибо без него невозможно ничего ни понять, ни познать», — писал ученик Пифагора, греческий математик и философ Филолай из Кротона (ок. 480 г. дон. э.).