Простая одержимость

При N = 1 главный член, равен просто Li(1000 000); именно такое приближение к точному ответу дает нам ТРПЧ. Какова же разница между этим приближением и π(1000 000)? Ответ получается мгновенно путем простого вычитания: разность, вычисленная как π(1000 000) минус Li(1000 000) (чтобы сохранить знаки в нашей таблице), равна −129,54916. Из чего эта разница слагается?

Вот из чего:

из главных членов		−100,20254
из вторичных членов		−29,37378
из членов с ln 2		0,03515
из интегральных членов		−0,00799

Наибольший вклад в разницу дают главные члены. Однако эти члены вполне предсказуемы — они убывают быстро и неуклонно.

Разница, возникающая из вторичных членов, имеет тот же порядок величины, однако составляющие ее компоненты — те самые вторичные члены — вызывают куда больше беспокойства. Первый вторичный член достаточно велик и отрицателен; правда, нет никаких очевидных причин, почему он должен оказаться именно таким. Но и другие не очень помогают. Если просто двигаться вниз вдоль колонки с вторичными членами, не обращая внимания на знаки минус, а следя только за тем, будет ли каждый следующий член больше или меньше предыдущего по величине, то мы увидим такое: меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, больше. Вторичный член при N = 19 оказывается почти таким же, как и при N = 6. Все эти вторичные члены — члены, которые выражаются через нули дзета-функции, — джокеры в нашем вычислении. А члены с ln 2, как и было обещано, несущественны.

Вспомним о статье Литлвуда 1914 года (см. главу 14.vii), где он доказал, что неверно утверждение, что Li(x) всегда превосходит π(x). Это означает, что разность рано или поздно станет положительной. Поскольку главные члены очень быстро убывают по величине, а функция Мебиуса делает несколько первых из них отрицательными, включая и по-настоящему большие (при N = 2, N = 3 и N = 5), нелегко представить себе, как же эти главные члены вообще могут внести в разность какой-нибудь иной вклад, кроме как большое отрицательное число. Если в итоге разность должна оказаться положительной (а Литлвуд доказал, что такое рано или поздно случится), то это отрицательное число должно поглотиться большими, положительными, вторичными членами. Чтобы такое произошло, вторичные члены — нули дзета-функции — должны серьезным образом выйти из-под контроля. Судя по всему, так они и делают.

IX.

Чтобы еще глубже разобраться в смысле остаточного члена, снова взглянем на двойную спираль в правой части рисунка 21.4. Она представляет нам функцию Li(x^{критическая прямая}) при x = 20. Критическая прямая — испещренная, если ГР верна, всеми нетривиальными нулями дзета-функции — отображается под действием функции Li(20^z) в спираль. Что будет, если вместо 20 мы возьмем какое-нибудь большее значение х? Какой вид примут соответствующие спирали?

Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10^{крит. прямая}), Li(100^{крит. прямая}) и Li(1000^{крит. прямая}). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от ¹/₂ − 5i до ¹/₂ + 5i.

Рисунок 21.7. Li(x^{критическая прямая}) при x = 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от ¹/₂ − 5i до ¹/₂ + 5i.

Как видно, при увеличении x от 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам −πi и πi.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек −πi и πi.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении x между 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при ¹/₂ ± 14,134725i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек −πi и πi, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек −πi и πi независимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста x нули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда ρ равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при ¹/₂ + 14,134725i), а аргумент x достигает скромного триллиона, функция Li(x^ρ) добирается до вещественных частей, превышающих 2200.