Простая одержимость

Слагаемые здесь приближаются к нулю гармонически: 1, ¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₅, …, но чередующиеся знаки плюс и минус означают, что каждый следующий член до некоторой степени сокращает предыдущий, что и приводит к сходимости. Но эта сходимость, если использовать введенную в главе 9.vii терминологию, лишь условна. Она зависит от суммирования всех членов в правильном порядке.

Так же обстоит дело и с рядом ∑_ρLi(20^ρ). Если мы желаем обеспечить сходимость к правильному числу, то нам следует проявлять осторожность относительно порядка суммирования. Так каков же правильный порядок? Он ровно такой, как вы и подумали. Берем нули один за другим, двигаясь вверх по критической прямой, и прибавляем к каждому его комплексно-сопряженный нуль из южной части.

VII.

Итак, для вычисления суммы ∑_ρLi(20^ρ) мы сначала складываем каждый нуль дзета-функции с его зеркальным образом (т.е. с комплексным сопряжением) из южной половины плоскости аргумента. Далее эти пары надо сложить в порядке возрастания положительных мнимых частей. Таким образом, мы складываем нули в следующем порядке:

¹/₂ + 14,134725i и ¹/₂ − 14,134725i; затем
¹/₂ + 21,022040i и ¹/₂ − 21,022040i; затем
¹/₂ + 25,010858i и ¹/₂ − 25,010858i; затем ….

Чтобы посмотреть, что же получается в результате этого процесса, и разобраться в том, почему Риман назвал этот вторичный член «периодическими членами», поупражняемся немного в арифметике, используя конкретные значения буквы x. Как и раньше, возьмем x = 20; тем самым мы вычисляем величину J(20) — что, как несложно проверить из исходного определения функции J, равно 9⁷/₁₂ т.е. 9,5833333…. Вот как это получается.

Сначала возводим 20 в степень ¹/₂ + 14,134725i. В результате получаем точку, которая на рисунке 21.2 помечена как 1 и численно выражается как −0,302303 − 4,46191i. Интегральный логарифм от этого — т.е. функция Li — дает самую западную точку на рисунке 21.3, выражаемую числом −0,105384 + 3,14749i. Теперь разберемся с сопряженным членом из этой пары нулей. Возводим 20 в степень ¹/₂ − 14,134725i. Результат равен −0,302303 + 4,46191i. Он показан на средней картинке на рисунке 21.4. Это зеркальный образ точки, помеченной на рисунке 21.2 как 1, относительно вещественной оси. Берем интегральный логарифм и получаем ответ −0,105384 − 3,14749i — точку, лежащую глубоко на юге в правой части рисунка 21.4. Складывая два ответа, получаем −0,210768. Мнимые части, разумеется, сократились. Вот и все с первой парой сопряженных нулей.

Повторим все это для второй пары, ¹/₂ + 21,022040i и ¹/₂ − 21,022040i. На этот раз окончательный ответ будет равен 0,0215632. Для третьей пары он равен −0,0535991. С тремя парами мы разобрались, но впереди бесконечность!

После 50 таких вычислений получаем (таблицу следует читать по колонкам):

Первое значение представляет собой некоторую аномалию, поскольку самая западная точка на рисунке 21.3 отстоит от вертикальной оси более чем в два раза дальше, чем остальные. Однако затем числа в таблице уменьшаются по мере того, как значения, соответствующие северной половине критической прямой, по спирали приближаются к πi. И взгляните на их знаки — имеется примерно равное число положительных и отрицательных.[199] Это хорошая новость, потому что, хотя ответы и становятся меньше, они делают это не очень быстро, и нам потребуется вся возможная помощь, которую могут нам оказать сокращения между положительными и отрицательными значениями. Не будем забывать, что все это происходит под знаком суммы — эти 50 чисел предстоит еще сложить друг с другом. (Сумма равна −0,343864, что, кстати, составляет не более 8 процентов от полной бесконечной суммы. Не так плохо для всего лишь 50 слагаемых.)

Рисунок 21.5. Первые 50 значений, полученных путем взятия нетривиального нуля и его комплексно сопряженного, вычисления значений функции Li(20^z)и их последующего суммирования.