здесь Φ — гравитационный потенциал, а ρ — плотность материи. Оно в точности совпадает с уравнением для электростатического потенциала, только вместо Gρ надо подставить плотность электрического заряда. Уравнение Пуассона в отличие от уравнений Эйнштейна линейно, то есть можно суммировать решения, наведенные отдельными массами. Таким образом, зачастую можно не решать уравнения, а просто просуммировать гравитационный или электрический потенциал от разных тел или зарядов, пропорциональный 1/r: Φ = G (m1/r1 + m2/r2 + …). Но ни уравнение ньютоновской гравитации, ни уравнение электростатики не могут оставаться верными, как только мы допускаем возможность движения тел и зарядов и вооружаемся специальной теорией относительности. Уравнение Пуассона предполагает бесконечную скорость распространения сигнала (сдвинули тело — и гравитационный потенциал вдали от него мгновенно изменился). Но специальная теория относительности запрещает мгновенное распространение сигнала, значит, уравнение Пуассона придется отбросить и описывать действительность более сложными уравнениями, куда обязательно должна входить скорость света.
Чтобы примирить электростатику с теорией относительности, приходится объединить электрическое поле с магнитным — описать их единой системой уравнений. Это будут знаменитые уравнения Максвелла. Максвелл ничего не знал про теорию относительности, но в его уравнениях с ней всё в порядке. Когда мы двигаем заряд, появляется магнитное поле и электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Электрическое поле от удаленного заряда изменится не раньше, чем дойдут волны. И при переходе от одной системы отсчета к другой всё меняется логично. Всё в порядке.
Уравнения Максвелла в своей исторической форме довольно сложно запоминаются. Но если перейти от электрического и магнитного полей к четырехмерному векторному потенциалу Aμ (A0 — обычный электрический потенциал, A0, A2, A3 — трехмерный вектор, из производных которого получается магнитное поле), мы получаем нечто, удивительно похожее на уравнение Пуассона:
□Aμ = -4πjμ/c
где знаком □ обозначена конструкция д/дх2 + д/дy2 + д/дz2 — 1/с2 д/дt2, называемая оператором Д’Аламбера, jμ — четырехвектор плотности тока: jo = r — плотность заряда, j1, j2, j3 — плотность тока. Что изменилось? Уравнений стало четыре — по одному для каждого значения μ. Слева к сумме вторых производных по пространственным координатам добавилась еще производная по времени, но с противоположным знаком и квадратом скорости света в знаменателе. Итак, имеем четыре уравнения для четырехкомпонентного поля, в каждом уравнении слева сумма вторых производных по четырем координатам. Почему всего тут по четыре? Потому, что специальная теория относительности делает наш мир существенно четырехмерным, только время надо брать с коэффициентом 1/с и знаком минус. Все физические вектора по сути четырехмерны, например, четвертой компонентой для импульса частицы является энергия. Получается, если записывать уравнения Максвелла в естественном для нашего мира четырехмерном представлении, они становятся удивительно простыми.