Прорыв за край мира

здесь Φ — гравитационный потенциал, а ρ — плотность материи. Оно в точности совпадает с уравнением для электростатического потенциала, только вместо Gρ надо подставить плотность электрического заряда. Уравнение Пуассона в отличие от уравнений Эйнштейна линейно, то есть можно суммировать решения, наведенные отдельными массами. Таким образом, зачастую можно не решать уравнения, а просто просуммировать гравитационный или электрический потенциал от разных тел или зарядов, пропорциональный 1/r: Φ = G (m₁/r₁ + m₂/r₂ + …). Но ни уравнение ньютоновской гравитации, ни уравнение электростатики не могут оставаться верными, как только мы допускаем возможность движения тел и зарядов и вооружаемся специальной теорией относительности. Уравнение Пуассона предполагает бесконечную скорость распространения сигнала (сдвинули тело — и гравитационный потенциал вдали от него мгновенно изменился). Но специальная теория относительности запрещает мгновенное распространение сигнала, значит, уравнение Пуассона придется отбросить и описывать действительность более сложными уравнениями, куда обязательно должна входить скорость света.

Чтобы примирить электростатику с теорией относительности, приходится объединить электрическое поле с магнитным — описать их единой системой уравнений. Это будут знаменитые уравнения Максвелла. Максвелл ничего не знал про теорию относительности, но в его уравнениях с ней всё в порядке. Когда мы двигаем заряд, появляется магнитное поле и электромагнитные волны, распространяющиеся со скоростью света. Электрическое поле от удаленного заряда изменится не раньше, чем дойдут волны. И при переходе от одной системы отсчета к другой всё меняется логично. Всё в порядке.

Уравнения Максвелла в своей исторической форме довольно сложно запоминаются. Но если перейти от электрического и магнитного полей к четырехмерному векторному потенциалу A_μ (A₀ — обычный электрический потенциал, A₀, A₂, A₃ — трехмерный вектор, из производных которого получается магнитное поле), мы получаем нечто, удивительно похожее на уравнение Пуассона:

□A_μ = -4πj_μ/c

где знаком □ обозначена конструкция д/дх² + д/дy² + д/дz² — 1/с² д/дt², называемая оператором Д’Аламбера, j_μ — четырехвектор плотности тока: j_o ⁼ r — плотность заряда, j₁, j₂, j₃ — плотность тока. Что изменилось? Уравнений стало четыре — по одному для каждого значения μ. Слева к сумме вторых производных по пространственным координатам добавилась еще производная по времени, но с противоположным знаком и квадратом скорости света в знаменателе. Итак, имеем четыре уравнения для четырехкомпонентного поля, в каждом уравнении слева сумма вторых производных по четырем координатам. Почему всего тут по четыре? Потому, что специальная теория относительности делает наш мир существенно четырехмерным, только время надо брать с коэффициентом 1/с и знаком минус. Все физические вектора по сути четырехмерны, например, четвертой компонентой для импульса частицы является энергия. Получается, если записывать уравнения Максвелла в естественном для нашего мира четырехмерном представлении, они становятся удивительно простыми.