Программирование

Для того чтобы проверить наше решение, выводим на экране произведение A*x, которое должно быть равно вектору b (или достаточно близким к нему с учетом ошибок округления). Из-за вероятных ошибок округления мы не можем просто ограничиться инструкцией

if (A*x!=b) error("Неправильное решение");

Поскольку числа с десятичной точкой являются лишь приближением действительных чисел, получим лишь приближенный ответ. В принципе лучше не применять операторы == и != к результатам вычислений с десятичными точками: такие числа являются лишь приближениями.

В библиотеке Matrix нет операции умножения матрицы на вектор, поэтому эту функцию нам придется написать самостоятельно.

Vector operator*(const Matrix& m,const Vector& u)

{

  const Index n = m.dim1();

  Vector v(n);

  for (Index i = 0; i < n; ++i) v(i) = dot_product(m[i], u);

  return v;

}

И вновь простая операция над объектом класса Matrix делает за нас большую часть работы. Как указывалось в разделе 24.5.3, операции вывода объектов класса Matrix описаны в заголовке MatrixIO.h. Функции random_matrix() и random_vector() просто используют случайные числа (раздел 24.7). Читатели могут написать эти функции в качестве упражнения. Имя Index является синонимом типа индекса, используемого в библиотеке Matrix, и определено с помощью оператора typedef (раздел A.15). Этот тип включается в программу с помощью объявления using.

using Numeric_lib::Index;

24.7. Случайные числа

  Если вы попросите любого человека назвать случайное число, то они назовут 7 или 17, потому что эти числа считаются самыми случайными. Люди практически никогда не называют число нуль, так как оно кажется таким идеально круглым числом, что не воспринимается как случайное, и поэтому его считают наименее случайным числом. С математической точки зрения это полная бессмыслица: ни одно отдельно взятое число нельзя назвать случайным. То, что мы часто называем случайными числами — это последовательность чисел, которые подчиняются определенному закону распределения и которые невозможно предсказать, зная предыдущие числа. Такие числа очень полезны при тестировании программ (они позволяют генерировать множество тестов), в играх (это один из способов гарантировать, что следующий шаг в игре не совпадет с предыдущим) и в моделировании (мы можем моделировать сущность, которая ведет себя случайно в пределах изменения своих параметров).

  Как практический инструмент и математическая проблема случайные числа в настоящее время достигли настолько высокой степени сложности, что стали широко использоваться в реальных приложениях. Здесь мы лишь коснемся основ теории случайных чисел, необходимых для осуществления простого тестирования и моделирования. В заголовке из стандартной библиотеки есть такой код:

int rand(); // возвращает числа из диапазона

            // [0:RAND_MAX]

RAND_MAX    // наибольшее число, которое генерирует

            // датчик rand()

void srand(unsigned int); // начальное значение датчика

                          // случайных чисел

Повторяющиеся вызовы функции rand() генерируют последовательность чисел типа int, равномерно распределенных в диапазоне [0:RAND_MAX]. Эта последовательность чисел называется псевдослучайной, потому что она генерируется с помощью математической формулы и с определенного места начинает повторяться (т.е. становится предсказуемой и не случайной). В частности, если мы много раз вызовем функцию rand() в программе, то при каждом запуске программы получим одинаковые последовательности. Это чрезвычайно полезно для отладки. Если же мы хотим получать разные последовательности, то должны вызывать функцию srand() с разными значениями. При каждом новом аргументе функции srand() функция rand() будет порождать разные последовательности.

Например, рассмотрим функцию random_vector(), упомянутую в разделе 24.6.3. Вызов функции random_vector(n) порождает объект класса Matrix, содержащий n элементов, представляющих собой случайные числа в диапазоне от [0:n]:

Vector random_vector(Index n)

{

  Vector v(n);

  for (Index i = 0; i < n; ++i)

    v(i) = 1.0 * n * rand() / RAND_MAX;

  return v;

}

Обратите внимание на использование числа 1.0, гарантирующего, что все вычисления будут выполнены в арифметике с плавающей точкой. Иначе при каждом делении целого числа на RAND_MAX мы получали бы 0.

Сложнее получить целое число из заданного диапазона, например [0:max]. Большинство людей сразу предлагают следующее решение: