Пригов. Очерки художественного номинализма

«Трансцендирующая геометрия», по‐видимому, связана с трансцендентальной геометрией, возникшей в XVII веке и связанной с проведенным Лейбницем различием между алгебраическими и трансцендентальными кривыми. Первые описываются в уравнениях, использующих рациональные числа, вторые же описываются через уравнения с иррациональными числами или неопределенными величинами. Поскольку отношение между прямыми и кривыми не может быть выражено в рациональных числах и постигнуто умом, Декарт считал, что кривые могут быть определены только через измерение расстояний между составляющими их точками по прямой. При этом тот же Декарт считал истинными геометрическими кривыми такие, которые «мы можем представить себе описываемыми непрерывным движением»[353]. Это движение имеет существенный смысл, так как оно генерирует кривые и позволяет понимать их в категориях «генеративных определений» в смысле Гоббса и Спинозы. Кривая, таким образом, объясняется через движение, ее порождающее. Но это движение и его непрерывность входят в противоречие с бесконечным количеством точек на кривой, позволяющих ее измерять и выражать в числах. Генеративная динамика предполагает непрерывность движения, измерение расстояния между точками – дискретность. Чтобы описать кривую через измерение расстояния между точками, необходимо измерить расстояние между бесконечным количеством точек. В письме к Мерсенну от 11 октября 1638 года Декарт, впрочем, утверждает, что сама идея, будто кривая состоит из бесконечного количества точек, – чистая фантазия[354].

Дэвид Лахтерман так суммирует взгляд Декарта на эту проблему:

Его позиция, таким образом, выглядит так, что место (locus) не состоит ab initio из бесконечного множества точек, но порождает эти точки (bring those points into being), в то время как само оно находится in statu fiendi, на пути к становлению. Граф, который может быть «построен» между дискретными точками, в действительности – не конструируем, это, по мнению Декарта, механическая или трансцендентальная кривая. Действительно, постараться «прочертить все точки с помощью встречи двух независимых движений» – это для него то же, что быть неспособным «геометрически найти какую‐либо из точек, что необходимо для извлечения результатов», из таких неалгебраических кривых…[355]

Отсутствие бесконечного количества точек на кривой означает, что сами эти точки генерируются пересечением кривой и прямой, но не принадлежат кривой как нечто онтологически данное. Лейбниц хорошо сформулировал суть этого положения:

…до обозначения нет никаких точек. Если шар касается плоскости, то местом касания будет точка; если тело пересекается с другим телом (или поверхность с поверхностью), то местом пересечения будет поверхность или линия. Помимо же этого они не существуют, и нет точек, линий, поверхностей, т. е. вообще оконечностей, кроме тех, которые возникают при делении: и в непрерывности нет частей, пока они не созданы делением[356].

Точка не существует, но генерируется, а потому не может быть основой измерения трансцендентальной кривой, избегающей любого измерения и дающейся только в генезисе.

С тех пор как Зенон в своих апориях установил несоотносимость величин в геометрических фигурах, стала очевидна несоизмеримость движения и пространственного анализа. Величины были непрерывными, а числа, которые пытались к ним приложить, дискретными. Декарт постарался синтезировать геометрию и арифметику в алгебре, в абстрактном ее аппарате, позволяющем дать математическое описание линии.

Что такое для Декарта алгебра, можно понять из его рассуждения о воске во Втором из «Размышлений о первой философии». Декарт начинает с того, что описывает кусок холодного воска, его форму и консистенцию.