Ноль: биография опасной идеи

Примерно в то же время, когда Суисет получит свой результат, Николя Оресм, французский математик, попробовал сложить другую бесконечную последовательность чисел — так называемую гармоническую серию: ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ + ¹/₅ + ¹/₆ + … Как и в случаях последовательностей Зенона и Суисета, все члены данной последовательности все больше и больше приближаются к нолю. Тем не менее когда Оресм попытался сложить их, он обнаружил, что сумма становится все больше и больше. Несмотря на то, что отдельные члены последовательности стремятся к нолю, сумма делается бесконечно большой. Оресм показал это, сгруппировав члены: ¹/₂ + (¹/₃ + ¹/₄) + (¹/₅ + ¹/₆ + ¹/₇ + ¹/₈) +… Первый член новой последовательности очевидно равен ¹/₂ ; второй больше ¹/₂ , так как больше, чем (¹/₄ + ¹/₄); третий тоже больше ¹/₂ , так как больше, чем (¹/₈ + ¹/₈ + ¹/₈ + ¹/₈)… и так далее. Вы продолжаете складывать ¹/₂, ¹/₂, ¹/_2… и сумма становится все больше и больше — до бесконечности. Хотя члены последовательности стремятся к нолю, они стремятся недостаточно быстро. Сумма бесконечной последовательности может быть бесконечно большой, даже если ее члены стремятся к нолю. Однако это еще не самое странное свойство бесконечно большой суммы. Ноль сам не застрахован от странной природы бесконечности.

Представьте себе следующую серию: 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1… Нетрудно увидеть, что сумма этой серии равна нолю: ведь (1 — 1) + (1 — 1) + (1 — 1)… — то же самое, что 0 + 0 + 0 + 0 +…, что, несомненно, дает в сумме ноль. Однако внимание! Сгруппируйте члены серии иначе: 1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) +… Это то же самое, что 1 + 0 + 0 + 0 +… и явно равняется 1. Одна и та же сумма бесконечного числа нолей одновременно равна 0 и 1! Итальянский священник отец Гвидо Гранди даже использовал эту серию для доказательства того, что Бог мог создать Вселенную (1) из ничего (0). На самом деле такая серия в сумме может давать что угодно. Чтобы сумма стала равна 5, используйте 5 и –5 вместо 1 и –1, и можно будет доказать, что 0 + 0 + 0 + 0 +… равно 5.

Сложение бесконечного числа объектов друг с другом может приводить к странным и противоречивым результатам. Иногда, когда члены стремятся к нолю, сумма оказывается конечной, прекрасным, нормальным числом вроде 2 или 53. В других случаях сумма делается бесконечно большой. А сумма бесконечной серии нолей может равняться вообще чему угодно. И все это происходило одновременно. Происходило нечто странное, и никто не знал, как же обращаться с бесконечностью.

К счастью, физический мир проявил больше здравого смысла, чем мир математический. Складывать бесконечное число предметов друг с другом удается вполне успешно при условии, что вы имеете дело с чем-то реальным, например, ищете объем бочки вина. 1612 год оказался знаменательным для вина.

Иоганн Кеплер — тот самый, который открыл, что планеты движутся по эллипсам, — провел этот год, заглядывая в винные бочки, потому что понял, что методы виноделов, оценивающих объем бочек, очень грубы. Чтобы помочь торговцам вином, Кеплер расколол — в уме, конечно, — бочку на бесконечное число бесконечно малых кусочков, а потом сложил их, чтобы определить объем. Это может показаться странным способом измерения бочки, но идея оказалась блестящей.

Чтобы несколько упростить проблему, представим себе двумерный, а не трехмерный объект — треугольник. Треугольник на рис. 23 имеет высоту 8 и основание 8. Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, она равна 32.

Рис. 23. Оценка площади треугольника

Теперь представьте себе, что вы пытаетесь оценить размер треугольника, вписывая в него маленькие прямоугольники. При первой попытке вы получите площадь в 16 — гораздо меньше действительной площади в 32. Вторая попытка окажется несколько лучше. С помощью трех прямоугольников вы получите площадь в 24. Близко, но вы еще не у цели. Третья попытка дает 28 — еще ближе.

Как вы видите, использование меньших и меньших прямоугольников, ширина которых, обозначенная символом Øx, стремится к нолю, делает результат все более близким к 32, истинной площади треугольника. (Сумма площадей прямоугольников равна ∑f(x)Øx, где греческий символ ∑ означает сумму по соответствующему ряду, а f(x) есть уравнение кривой, к которой стремятся прямоугольники.

В современном написании, при том что x стремится к нолю, мы заменяем ∑ новым символом, ∫, а Øx — dx, что превращает уравнение в ∫f(x)dx — в интеграл.)

В одной из малоизвестных работ Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»[25] он делает то же самое для трех измерений, рассекая бочку на плоскости и складывая плоскости друг с другом. Кеплер по крайней мере не боялся стоящей перед ним проблемы: по мере того как Øx приближается к нолю, получение суммы становится эквивалентным сложению бесконечного числа нолей — результат, не имеющий смысла. Кеплер игнорировал эту проблему. Хотя сложение бесконечного числа нолей с точки зрения логики — тарабарщина, ответ, который оно давало, был правильным.