Ноль: биография опасной идеи

Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение… Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра разногласий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, так как до сих пор результат всегда получался правильный.

Фридрих Энгельс. «Анти-Дюринг»[24]

Ноль и бесконечность разрушили аристотелевскую философию, вакуум и бесконечный космос избавили Вселенную от скорлупы и от идеи о том, что природа не терпит пустоты. Древняя мудрость была отброшена, и ученые начали открывать законы, управляющие природными явлениями. Однако перед научной революцией стояла проблема ноля.

В глубине могучего нового инструмента научного мира — дифференциального и интегрального исчисления — таился парадокс. Изобретатели исчисления, Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создали мощнейший математический метод благодаря делению на ноль и сложению бесконечного числа нолей. Оба действия были столь же нелогичны, как сложение 1 и 1, чтобы получить 3. Дифференциальное и интегральное исчисление в своих основах отрицали математическую логику. Их принятие было актом веры. Ученые совершили этот прыжок, поскольку дифференциальное и интегральное исчисление есть язык природы. Чтобы в совершенстве понимать этот язык, наука должна была победить бесконечные ноли.

Бесконечные ноли

Когда после тысячелетнего оцепенения европейская мысль стряхнула усыпляющее влияние, с толь мастерски насаждавшееся отцами Церкви, вопрос о бесконечности стал одним из первых, на которые вновь было обращено внимание.

Тобиас Данциг. «Числа — язык науки»

Проклятие Зенона висело над математикой два тысячелетия. Казалось, что Ахиллес обречен вечно преследовать черепаху, никогда ее не догоняя. В простой загадке Зенона скрывалась бесконечность. Греки были остановлены бесчисленными шагами Ахиллеса. Им не приходило в голову сложить вместе бесконечные части, хотя величина шагов Ахиллеса приближалась к нолю. Греки едва ли могли сложить шаги нулевой величины, не имея понятия ноля. Впрочем, когда Запад принял ноль, математики начали приручать бесконечность и закончили гонку Ахиллеса.

Несмотря на то, что последовательность Зенона имеет бесчисленные члены, мы можем сложить их и все же остаться в области конечных чисел: 1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₁₆ +… = 2. Первым человеком, проделавшим такой трюк — сложение бесконечного числа членов для получения конечного результата, — был британский логик XIV века Ричард Суисет. Он взял последовательность ¹/₂ , ²/₄ , ³/₈ , ⁴/₁₆ , …, ⁿ/_2ⁿ, сложил ее члены и получил 2. В конце концов числа, составлявшие последовательность, все больше и больше приближались к нолю; по наивности можно было бы предположить, что это обеспечит конечность их суммы. Увы, бесконечность вовсе не так проста.