Мудрость Запада

В математическом анализе в то время придавали большое значение понятию "бесконечно малые величины", которое, как думали, играет существенную роль в функционировании вновь открытого исчисления. Бесконечно малая величина, как считали, - это количество малое настолько, что стремится к нулю. Предполагали, что именно такие количества применяются при образовании дифференциальных коэффициентов и интегралов. Понятие бесконечно малой величины - это, конечно, один из самых старых скелетов в математическом шкафу. (Перефразированная применительно к математике английская пословица о том, что у каждой семьи есть свой скелет в шкафу). Оно восходит к единице Пифагора, которая является схожим вариантом этого рода. Мы видели, как Зенон разоблачал пифагорейское учение. В наше время критические замечания относительно теории бесконечно малых величин также исходили от философов. Беркли был, возможно, первым, кто указал на заключенные в этой теории сложности, и известно, что Гегель также обсуждал эти вопросы. Но математики сначала не обратили внимания на эти предостережения. Они шли вперед и развивали свою науку, и хорошо, что они это делали. Особенностью возникновения и развития новых дисциплин является то, что слишком рано предъявленные строгие требования подавляют воображение ученых и часто сводят на нет открытия. Освобождение же от критических суждений способствует развитию предмета на его ранних стадиях, даже если это чревато появлением известного количества ошибок.

Один из Парадоксов Кантора: существует столько четных чисел, сколько чисел всего.

Тем не менее в развитии любой области наступает время, когда стандарты строгости должны быть ужесточены. В математике период особенной строгости наступил с начала XIX в. Первая атака была предпринята французским математиком Кочи, который разработал систематическую теорию пределов. Она вместе с более поздней работой Вейерштрасса в Германии дала возможность обходиться без бесконечно малых величин. Общие проблемы последовательности и бесконечности чисел, которые таились за этими достижениями, впервые были исследованы Георгом Кантором.

Бесконечность чисел причиняла беспокойство ученому миру еще во времена Зенона с его парадоксами. Если мы вспомним соревнование между Ахиллом и черепахой, мы могли бы изложить один из запутанных вопросов этого предмета следующим образом:

для каждого места, на котором был Ахилл, есть место, которое занимала черепаха. Таким образом, два бегуна располагали равным количеством положений. И все же очевидно, что Ахилл занимает больше места. Казалось бы, это противоречит здравому смыслу, в соответствии с которым целое больше, чем часть. Но когда мы имеем дело с бесконечностью, это уже не так. Возьмем простой пример. Ряд положительных целых чисел, число которых бесконечно, включает четные и нечетные числа. Уберите все нечетные числа, и вы могли бы предполагать, будто то, что осталось, составляет половину того, с чего вы начали. Но там остается столько четных чисел, сколько всего было чисел вначале. Это несколько озадачивающее заключение очень легко продемонстрировать. Первое, мы выписываем ряд натуральных чисел, а затем рядом с ним числа, получающиеся в результате удвоения каждого числа из первого ряда. Каждому числу в первом ряду соответствует запись во втором. Как говорят математики, между ними существует соотношение один к одному. Следовательно, два ряда имеют одинаковое количество чисел. Таким образом, в случае бесконечного ряда часть содержит столько же терминов, сколько целое. Таково свойство, которое Кантор использует для определения бесконечных рядов.

На этой основе Кантор развил целую теорию бесконечных чисел. В частности, он показал, что существуют бесконечные числа разной величины, хотя, конечно, не нужно думать о них совершенно таким же образом, как мы говорим об обычных числах. Примером более высокой бесконечности, чем бесконечность ряда натуральных чисел, является ряд действительных чисел, или, как его иногда называют, числовой континуум. Предположим, все десятичные дроби перечислены по величине. Теперь мы составляем новую десятичную дробь, взяв первую цифру из первой записи, вторую цифру из второй записи и так далее и увеличив каждую цифру на один. Получившаяся в результате десятичная дробь отличается от всех десятичных дробей в списке, который мы считали полным. Это показывает, что бесчисленный список не может быть окончательным. Число десятичных дробей бесконечно в более высокой степени, чем число натуральных чисел. Этот так называемый диагональный процесс позднее имел также некоторое значение в символической логике.

Другой вопрос, имеющий особый интерес для логиков, был поднят к концу XIX в. Математики с древнейших времен претендовали на то, что вся их наука как система может быть выведена из единственной отправной точки или, по меньшей мере, из возможно меньшего их числа. Это один из аспектов Сократовой интерпретации Добра. Элементы у Евклида представляют пример того, что требовалось в данном случае, даже если трактовка Евклида несовершенна.