Мир по Эйнштейну. От теории относительности до теории струн

Вернемся к общей теории относительности и определим понятие «деформированного» пространства-времени. Напомним сначала хроногеометрическую структуру «недеформированного» пространства-времени: ту, что имеет место в специальной теории относительности, в том виде, как она определена Пуанкаре и Минковским. Эта структура задается с помощью квадрата интервала между двумя точками пространства-времени, т. е. между двумя событиями. Квадрат интервала между любыми двумя точками получается как алгебраическая сумма четырех квадратов путем обобщения теоремы Пифагора: три из этих квадратов (разностей по длине, ширине и высоте между двумя событиями) входят в сумму со знаком плюс, а четвертый квадрат (разности временных показаний, умноженной на скорость света) – со знаком минус. Исходя из этого геометрическое место точек, удаленных от заданной точки на квадрат интервала, равный +1, формирует в пространстве-времени не (гипер)сферу, а (гипер)поверхность, которая напоминает песочные часы, т. е. два конуса, соединенных узкой горловиной{67}. Структура такого «недеформированного» пространства-времени является однородной, т. е. одной и той же повсюду в пространстве-времени. Какое бы событие мы ни выбрали для локального изучения пространства-времени, вокруг него мы увидим одинаковую структуру. Кроме того, эта структура является изотропной в том смысле, что в пространстве-времени не существует направления, которое играло бы выделенную роль. Здесь читатель, который смотрит на образ шахматной доски с набором песочных часов, представляющим эту структуру (см. рис. 3), возможно, подумает, что она имеет привилегированное направление в каждой точке пространства-времени. Действительно, каждые песочные часы, казалось бы, обладают осью симметрии: вертикальной осью, проходящей через центр песочных часов, вокруг которой можно вращать данные песочные часы, визуально не меняя их положения. Однако в действительности это кажущееся существование привилегированного направления является артефактом визуализации пространства-времени в трехмерном пространстве, которое зрительное восприятие человека интуитивно интерпретирует как евклидово пространство. В самом деле, вертикальная ось в этой визуализации представляет собой мировую линию наблюдателя, который находится «в состоянии покоя» в пространстве, но имеет непрерывное существование во времени. С другой стороны, принцип относительности говорит нам, что такой наблюдатель не определяет привилегированную систему отсчета. Любые другие наблюдатели, движущиеся с постоянной скоростью по отношению к данному, будут видеть идентичную структуру пространства-времени. Мировые линии этих наблюдателей «в движении» (но движущихся медленнее, чем свет) будут прямыми, наклоненными под углом менее 45° по отношению к «вертикали». Как следствие, если рассматривать конкретные песочные часы, все прямые, проходящие через их центр и остающиеся «внутри» этих песочных часов (т. е. не пересекающие их поверхность), будут осями симметрии для них, и, таким образом, ни одна из них не будет играть выделенную роль. Такова однородная и изотропная структура недеформированного «желе» пространства-времени.

Что же такое хроногеометрическая структура «деформированного» пространства-времени (которое обычно называют «искривленным»)? Это структура, в которой «расстояние-время» между двумя событиями по-прежнему дается определенным «квадратом интервала», но в которой, в отличие от случая пространства-времени Минковского, этот квадрат интервала имеет очень сложное математическое выражение для двух далеких событий. Зато, если рассмотреть очень близкие друг к другу события (как в пространстве, так и во времени), квадрат интервала будет определяться достаточно простой математической формулой, хотя и более сложной по сравнению с соответствующей формулой для пространства-времени Минковского. Как понял Эйнштейн в 1912 г., квадрат интервала между двумя событиями в деформированном пространстве-времени весьма напоминает квадрат расстояния между двумя точками искривленной поверхности, вложенной в обычное евклидово пространство.

В качестве примера искривленной поверхности возьмем поверхность Земли. Если рассмотреть небольшой участок земной поверхности, например участок в один квадратный метр, то, в принципе, его можно отождествить с небольшой частью плоскости (достаточно рассмотреть касательную плоскость к точке, расположенной недалеко от центра рассматриваемого участка). Таким образом, квадрат расстояния (т. е. расстояние, возведенное в квадрат) между двумя точками на этой небольшой поверхности будет в очень хорошем приближении равен квадрату расстояния между двумя точками на плоскости, который в свою очередь может быть получен с помощью теоремы Пифагора. Единственная сложность заключается в невозможности покрыть всю поверхность Земли с ее горами и долинами абсолютно регулярной сеткой координат (таких как длина и ширина).