Логико-философский трактат

5. 2522. Общий член формального ряда а, О', а, О' О' а... я пишу поэтому так: «[а, x, О', х]». Это выражение в скобках есть переменная. Первый член выражения в скобках есть начало формального ряда, второй – форма произвольного члена х ряда и третий – форма того члена ряда, который непосредственно следует за х.

5. 2523. Понятие последовательного применения операции эквивалентно понятию «и так далее».

5. 253. Одна операция может аннулировать результат другой. Операции могут друг друга аннулировать.

5. 254. Операция может исчезать (например, отрицание в «~ ~ p». ~ ~р=р).

5. 3. Все предложения представляют результат операций – истинности с элементарными предложениями. Операция истинности есть способ возникновения функции истинности из элементарных предложений. Согласно природе операции истинности, таким же образом как из элементарных предложений возникают их (дикции истинности, из функций истинности возникают новые. Каждая операция истинности создает из функций истинности элементарных предложений новую функцию истинности элементарных предложений, т. е. предложение. Результат каждой операции истинности над результатами операций истинности над элементарными предложениями является снова результатом одной операции истинности над элементарными предложениями. Каждое предложение есть результат операции истинности над элементарными предложениями.

5. 31. Схемы № 4. 31 имеют значение также тогда, когда «р», «q», «r» и т. д. не являются элементарными предложениями. И легко увидеть, что пропозициональный знак в № 4. 42 выражает одну функцию истинности элементарных предложений, даже если «р» и «q» являются функциями истинности элементарных предложений.

5. 32. Все функции истинности являются результатами последовательного применения конечного количества операций истинности к элементарным предложениям.

5. 4. Здесь становится ясным, что нет «логических объектов», «логических констант» (в смысле Фреге и Рассела).

5. 41. Ибо все те результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, тождественны.

5. 42. Очевидно, что V, É и т. д. не являются отношениями в смысле правого и левого. Возможность перекрестного определения логических «первичных знаков» Фреге и Рассела уже показывает, что они не являются «первичными знаками» и не обозначают никаких отношений. И очевидно, что «É», которое мы определяем через «~» и «V» тождественно тому, посредством чего мы определяем «\/» с помощью «~», и что это «V» тождественно с первым, и так далее.

5. 43. Заранее, однако, довольно трудно поверить в то, что из факта р должно следовать бесконечно много других фактов, а именно ~ ~р, ~ ~ ~ ~р и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное количество предложений логики (математики) следует из полдюжины «исходных предложений» (Grundgesetze). Но все предложения логики говорят одно и то же. А именно ничего.

5. 44. Функции истинности не являются материальными функциями. Если можно, например, получить утверждение через двойное отрицание, то содержится ли тогда отрицание в каком-либо смысле – в утверждении? Отрицает ли «~~р» ~р или оно утверждает р? Или то и другое? Предложение «~ р» не трактует отрицание как объект; возможность отрицания, пожалуй, предрешается уже в утверждении. И если бы существовал объект, называемый «~», то «~~р» должно было бы говорить нечто другое, чем «р». Так как одно предложение говорило бы о ~, другое – нет.

5. 441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если «~ ($ х). ~fx» говорит то же самое, что и « (х). fx, или если «~ ($ х). ~fxх = a» говорит то же самое, что и «fа».

5. 442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.

5. 45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.

5. 451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы «~ p» так же, как в предложениях вида – ~ p V q) ^«, « ($ х). ~fx « и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для у потребления в обоих случаях одного и того же способа символизации. (Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arith-metik») говорил относительно введения знаков через определения.)