Логико-философский трактат

4. 462. Тавтология и противоречие-не образы действительности. Они не изображают никакого возможного положения вещей, поскольку первая допускает любое возможное положение вещей, а второе не допускает никакого. В тавтологии условия соответствия с миром – отношения изображения-взаимно аннулируются, так что они не стоят ни в каком отношении изображения к действительности.

4. 463. Условия истинности определяют область, которую предложение оставляет факту. (Предложение, образ, модель напоминают в отрицательном смысле твердое тело, которое ограничивает свободу движения другого; в положительном смысле- пространство, ограниченное твердой субстанцией, в котором помещается тело.) Тавтология оставляет действительности все бесконечное логическое пространство, противоречие заполняет все логическое пространство и. ничего не оставляет действительности. Поэтому ни одно из них не может каким-либо образом определить действительность.

4. 464. Истинность тавтологии несомненна; предложение возможно, противоречие невозможно. (Несомненно, возможно, невозможно: здесь мы имеем указание той градации, которую мы употребляем в теории вероятностей.)

4. 465. Логическое произведение тавтологии и предложения говорит то же самое, что и предложение. Следовательно, это произведение тождественно с этим предложением. Потому что нельзя изменить существа символа, не изменяя его смысла.

4. 466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Любая, же произвольная комбинация соответствует только несвязанным знакам. Это означает, что предложения, которые истины для любого положения вещей, вообще не могут быть никакими комбинациями знаков, так как иначе им могли бы соответствовать только определенные комбинации объектов. (И нет такой логической комбинации, которой не соответствует никакая комбинация объектов.) Тавтология и противоречие являются предельными случаями комбинации знаков, а именно – их исчезновением.

4. 4661. Разумеется, и в тавтологии, и в противоречии знаки также сочетаются друг с другом, т. е. они относятся друг к другу, но эти отношения незначимы, несущественны для символа.

4. 5. Теперь, кажется, можно дать самую общую форму предложения, т. е. дать описание предложений некоторого знакового языка, так чтобы каждый возможный смысл мог выражаться символом, который подходит под это описание, . и так чтобы каждый символ, подходящий под это описание, мог выражать смысл, если соответствующим образом будут выбраны значения имен. Ясно, что при описании самой общей формы предложения может быть описано только ее существо – иначе она не была бы собственно самой общей формой. То, что имеется общая форма предложения, доказывается тем, что не может быть ни одного предложения, чью форму нельзя было бы предвидеть (т. е. сконструировать). Общая форма предложения такова: «дело обстоит так-то и так-то».

4. 51. Предположим, мне даны все элементарные предложения; тогда можно просто спросить: какие предложения я могу построить из них? И это – все предложения, и так они ограничиваются.

4. 52. Предложениями является все то, что следует из совокупности всех элементарных предложений конечно, также и из того, что это есть совокупность их всех}. (Так, можно, в известном смысле, сказать- что все предложения – обобщения элементарных предложений.)

4. 53. Общая форма предложения есть переменная.

5. Предложение есть функция истинности элементарных предложений. (Элементарное. предложение – функция истинности самого себя.)

5. 01. Элементарные предложения-аргументы истинности предложения.

5. 02. Само собой напрашивается смешение аргументов функции с индексами имен. Я узнаю значение знака настолько же из его аргумента, насколько и из его индекса. В расселовском +с, например, «с» есть индекс, указывающий на то, что весь знак есть знак сложения количественных чисел. Но этот способ символизации основывается на произвольном соглашения, и можно было вместо +с выбрать другой простой знак, но в выражении «~р» «р» – не индекс, а аргумент: смысл выражения «~р» не может быть понят, если до этого не понят смысл «р». (В имени Юлий Цезарь «Юлий» есть индекс. Индекс всегда является частью описания объекта, к имени которого мы его присоединяем. Например, Цезарь из рода Юлиев.) Смешение аргумента и индекса, если я не ошибаюсь, лежит в основе теории Фреге о значении предложений и функций. Для Фреге предложения логики были именами, а их аргументы – индексами этих имен.

5. 1. Функции истинности можно упорядочивать в ряд. Это есть основоположение теории вероятностей.

5. 101. Функции истинности каждого определенного количества элементарных предложений могут быть написаны в схеме следующего вида. Те возможности истинности аргументов истинности этой схемы, которые подтверждают предложение, я буду называть основаниями истинности.