Логико-философский трактат

5. 476. Ясно, что здесь речь идет не о количестве исходных понятий, которые должны обозначаться, но только о выражении правила.

5. 5. Каждая функция истинности есть результат последовательного применения операций (- – – – – И) к элементарным предложениям. Эта операция отрицает все предложения в правых скобках, и я называю ее отрицанием этих предложений.

5. 501. Выражение в скобках, члены которого являются предложениями, я обозначаю-если последовательность членов в скобках безразлична-знаком вида «x». «x» есть переменная, значения которой являются членами выражения, заключенного в скобки; и черточка над переменной означает, что она заменяет все свои значения в скобках. (Если, например, «x» имеет три значения: Р, W, R, то, следовательно, (x) = (Р, W, R) Значения переменных устанавливаются. Установление есть описание предложений, заменяемых переменной. Как происходит описание членов выражения, заключенного в скобки, не существенно. Мы можем различать три вида описаний: I. Прямое перечисление. В этом случае мы можем просто вместо переменной поставить ее постоянное значение. II. Указание функции fx, значения которой для всех значений х являются описываемыми предложениями. III. Указание формального закона, по которому образованы эти предложения. В этом случае члены выражения, заключенного в скобки, суть все члены формального ряда.

5. 502. Я, следовательно, пишу вместо « (- – – – – И) (x...) «, N (x)». N (x) есть отрицание всех значений пропозициональной переменной.

5. 503. Так как, очевидно, легко выразить, как посредством этой операции могут образовываться предложения и как посредством ее они не должны образовываться, то поэтому данное обстоятельство также должно допускать точное выражение.

5. 51. Если x имеет только одно значение, то N (x) = ~ р (не р), и если имеет два значения, то N (x) = ~ p. ~q (ни р, ни q).

5. 511. Как может всеобъемлющая, отражающая мир логика употреблять такие специальные трюки и манипуляции? Только связывая все это в бесконечно тонкую сеть, в огромное зеркало.

5. 512. «~ р» истинно, если «p» ложно. Следовательно, в истинном предложении «~ р» «р» есть ложное предложение. Как может теперь штрих «~» привести его в соответствие с действительностью? Но то, что отрицает в «~ р», есть, однако, не «~», но то, что является общим для всех знаков этого способа записи, отрицающих р. Отсюда общее правило, по которому образуются «~ р», «~ ~ ~ р», «~ р V ~ p», «~ p ~ p» и т. д. (до бесконечности). И это общее вновь отражает отрицание.

5. 513. Можно было бы сказать: общее всех символов, которые утверждают как р, так и q, есть предложение «pVq». Общее всех символов, которые утверждают или р, или q, есть предложение «рVq». Итак, можно сказать: два предложения друг другу противоречат, когда они не имеют ничего общего друг с другом; и каждое предложение имееттолько одно отрицание, так как имеется только одно предложение, которое полностью лежит вне его. Таким же образом в расселовском способе записи обнаруживается, что «q: pV~ p» говорит то же самое, что и «q»; что «р V ~ p»ничего не говорит.

5. 514. Если установлен способ записи, то в нем имеется правило, по которому образуются все предложения, отрицающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р или q, и т. д. Эти правила эквивалентны символам, и в них снова отражается их смысл.

5. 515. Следует показать в наших символах, что то, что связывается посредством «V», «.» и т. д., должно быть предложениями. Именно это имеет место, так как символы «р» и «q» ведь сами предполагают «V», «~» и т. д. Если знак «р» в «pVq» не замещает комплексного знака, то он сам по себе не может иметь смысла, но тогда знаки «рVр», «р. р» и т. д., имеющие тот же смысл, что и «р», также не имеют смысла. Но если «рVр» не имеет смысла, то «рVq» также не может иметь смысла.

5. 5151. Должен ли знак отрицательного предложения образовываться с помощью знака положительного? Почему нельзя выразить отрицательное предложение посредством отрицательного факта? (Например, если «а» не стоит в определенном отношении к «b», то это можно было выразить тем, что aRb не имеет места.) Но ведь здесь отрицательное предложение также косвенно образовано через положительное. Положительное предложение предполагает существование отрицательного предложения и наоборот.

5. 52. Если значения S являются всеми значениями функции fx для всех значений х, то N (x) = ~ ($x). fx

5. 521. Я отделяю понятие «все» от функции истинности. Фреге и Рассел вводили общность в связи с логическим произведением или логической суммой. Так было труднее понять предложения « ($x). fх» и « (x) fx», в которых скрыты обе эти идеи.

5. 522. Своеобразие «символики общности», во-первых, в том, что она ссылается на логический первообраз, и, во-вторых, что она подчеркивает константы.

5. 523. Символ общности выступает как аргумент.