Логика для всех. От пиратов до мудрецов

2) Пусть есть два паровоза, зеленый и красный. Зеленый является кочаном капусты, но не играет на рояле. А красный, наоборот, кочаном капусты не является, зато на рояле играет. И никаких других кочанов капусты, кроме зеленого паровоза, на свете нет. Тогда оба условия верны, а вывод – нет.

6.8. 1) См. рис. 28.

Рис. 28

2) См. рис. 29.

Рис. 29

6.9. Первое рассуждение верное, так как все англичане входят в круг любителей пудинга, а французы находятся вне его. Второе неверно. Чтобы в этом убедиться, представьте себе, например, что никто вообще не достоин славы.

6.10. 1) Вывод сделать нельзя. 2) Некоторые горные кручи не являются заборами. 3) Джон – не гусеница. 4) Вывод сделать нельзя. 5) Музыка, не вызывающая колебаний воздуха, не стоит того, чтобы за нее платили деньги.

6.12. Эта задача не столько логическая, сколько лингвистическая. Если первое высказывание понимать как «Любое сочинение Пушкина обладает свойством: его нельзя прочитать за одну ночь», то рассуждение становится логически безупречным. Но на самом деле здесь речь идет обо всех сочинениях Пушкина как о едином целом. И такое высказывание никак не связано со вторым высказыванием об одном из этих сочинений.

Ответ. Вывод неверен.

Занятие 7

7.7. Утверждение «Если собаки рядом нет, то кот не шипит» противоположно обратному к утверждению «Если кот шипит, то рядом собака». Поэтому они равносильны, и достаточно было бы произнести любое из них.

Ответ. Сказал.

7.8. 1) Неверно, про Петино поведение при несделанных уроках никаких данных нет. Он мог, скажем, поднять руку, чтобы задать вопрос. 2) К сожалению, верно. Это можно доказать от противного: если бы Петя был готов к уроку, он бы поднял руку.

7.9. Решение 1. Предположим противное: числа на концах любого ребра отличаются не более чем на 2. Рассмотрим вершину, в которой расположено число 1. В соседних с ней вершинах могут располагаться лишь 2 и 3. Но у каждой вершины куба есть три соседних. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, и числа на концах хоть какого-нибудь ребра должны отличаться не менее чем на 3.

Решение 2. Предположим противное: числа на концах любого ребра отличаются не более чем на 2. От одной вершины до любой другой вершины можно добраться по одному, двум или трем ребрам. Поэтому числа в вершинах куба отличаются друг от друга не более чем на 6. Однако среди них есть 1 и 8, отличающиеся на 7. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно, числа на концах хоть какого-нибудь ребра должны отличаться не менее чем на 3.

7.10. Решение 1. Предположим, что нет двух друзей, которые послали открытки друг другу. Тогда каждый мог получить не более четырех открыток – только от тех, кому сам не посылал. И даже если все открытки дошли, каждый получил меньше открыток, чем послал. Поэтому и общее число отправленных открыток больше числа полученных. Противоречие.

Решение 2. Предположим, что нет двух друзей, которые послали открытки друг другу. Тогда послано не более 10 · 9: 2 = 45 открыток, но по условию их было послано 5*10 = 50. Противоречие.

7.11. Допустим, что это возможно. Пусть сумма чисел, стоящих в концах отрезков, равна А, сумма чисел, расположенных в серединах отрезков, равна В, а сумма трех чисел вдоль каждого отрезка равна С. Ясно, что А + В = 0 + 1 + 2 +.. + 9 = 45. Каждая концевая точка принадлежит ровно трем отрезкам, а все середины различны. Поэтому, сложив суммы чисел на всех шести отрезках, получим: ЗА + В = 6С. Отсюда 2А + 45 = 6С. Получили противоречие, так как слева нечетное число, а справа четное.

Ответ. Нельзя.

7.12. Вничью игра закончиться не может. Это означает, что ровно у одного из игроков есть выигрышная стратегия. Предположим, что такая стратегия есть у второго игрока. Долька, находящаяся в правом верхнем углу, съедена в любом случае после первого хода. Если у второго есть выигрышная стратегия, то у него есть выигрышный ответный ход на ход первого, состоящий в поедании только правой верхней дольки. Но этот выигрышный ход первый может с тем же успехом сделать сам с самого начала, а далее воспользоваться выигрышной стратегией второго.

7.13. Обсуждение. Задача кажется неприступной. Прежде чем нащупать «узкое место», хочется поэкспериментировать. Но как тут экспериментировать, когда секторов 25, да еще и порядок произвольный? А если секторов поменьше? Если секторов три, их все посетить не удастся, это доказывается коротким перебором. Если четыре, то их все можно посетить. Если пять – снова не удается. Здесь полный перебор уже затруднителен, зато видны две особенности сектора номер пять: если попадешь в пятерку, оттуда никуда не уйдешь; если удается пройти почти все числа, то именно пятерка всегда остается. Интересно, почему?