Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Комментарий. Для проверки примеров достаточно выполнить деление в столбик. А придумать их можно с помощью признаков делимости: для делимости на 12 надо обеспечить делимость на 3 и 4, для делимости на 15 – на 3 и 5, на 225 – на 9 и 25. Но при сумме цифр 12 или 15 число заведомо кратно 3, а при сумме цифр 225 – кратно 9. Поэтому достаточно с помощью последних цифр обеспечить делимость соответственно на 4, 5 и 25, а затем лишь подобрать нужную сумму цифр. Кроме того, признаки делимости на 2 и 4 можно обобщить: число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда на нее делится число, составленное из n последних цифр исходного. В частности, делимость на 16 проверяется по четырем последним цифрам, а на 128 – по семи. Остальные цифры многозначного числа выбираем любые, лишь бы сумма их была соответственно 16 или 128. Предлагаем читателю самостоятельно составить стозначное число с суммой цифр 144, делящееся на 144.

3.11. 1) Высказывания Б, Г и Д равносильны. Они означают одно и то же: множества дедов и множество волшебников имеют хотя бы один общий элемент (см. рис. 26).

Рис. 26

2) Если А истинно, то истинны и высказывания Б, Г и Д (для них Дед Мороз является подтверждающим примером). А вот В может быть как истинным, так и ложным.

3.12. Подсказка. Верите ли вы в Деда Мороза?

Решение. Парадокс связан с различным пониманием высказывания «Дед Мороз – волшебник».

Первый вариант: существование Деда Мороза считается заранее известным, а в Б утверждается лишь, что он является волшебником. Тогда если верно В, то верно и Б, а если верно Б, то верно и А. В таком случае, действительно, если верно В, то верно и А, никакого контрпримера и противоречия здесь нет: раз мы договорились верить в существование Деда Мороза, то множество дедов не может быть пустым.

Второй вариант: заранее ничего не известно; в Б утверждается, что существует Дед Мороз, являющийся волшебником. Тогда если Б верно, то и А верно. Но утверждать, что если верно В, то верно и Б, нельзя (контрпримером является ситуация, когда множество дедов пусто), поэтому вывод «если верно В, то верно и А» делать тоже нельзя.

3.13. Обсуждение. Что останется, если убрать театрализацию? Утверждение «Если это утверждение истинно, то Дед Мороз существует». Истинно ли оно? Если да, то Дед Мороз существует. Но именно это в нем и сказано, то есть оно истинно. А раз оно истинно, то Дед Мороз существует.

Ответ. Проблема в том же месте, что и в задачах 1.4 и 1.10 первого занятия: классическая логика избегает утверждений, связанных с истинностью их самих: их нельзя считать ни истинными, ни ложными.

Занятие 4

4.7. Пригласят.

Комментарий. Изобразим ситуацию с помощью кругов Эйлера (см. рис. 27). Начертим два пересекающихся круга. В первый круг пригласим тех, кто хорошо поет, во второй – всех, кто хорошо танцует. В ансамбль пригласят тех, кто оказался хотя бы в одном из кругов (на рисунке эта область выделена серым), в том числе и Наташу, находящуюся в пересечении кругов.

Рис. 27

4.8. Предположим, Сеня говорит правду. Тогда, согласно его словам, три остальных гнома – вруны. И, тем самым, фраза Бени является правдой. Значит, предположение приводит к противоречию, поэтому Сеня – врун, и его утверждение, что Женя – врун, является ложным. Отсюда заключаем, что Женя говорит правду. Тем самым, Беня – врун, а Веня говорит правду.

Замечание. Фраза Сени «Да оба они вруны» (относительно Бени и Вени) является ложной (несмотря на то, что Беня действительно врун), поскольку Веня – не врун.

Ответ. Женя и Веня.

4.9. Чтобы Аня и Боря были довольны, в пицце должен быть ровно один из ингредиентов: либо помидоры, либо грибы. С учетом вкусов Вани это должны быть грибы.

Ответ. С грибами.

4.10. Решение 1. Верна ровно одна из двух первых подсказок. Поэтому третья и четвертая неверны. Приз в желтом ящике.

Решение 2. Рассмотрим 4 случая. Если приз в синем ящике, то верны подсказки 1 и 4. Если в зеленом – то 1, 3 и 4. Если в красном – то 2 и 4. Если в желтом – то только 2. Так как верна ровно одна подсказка, то приз находится в желтом ящике.

Ответ. Желтый.

4.11. Дед Мороз принес айфоны в квартиры, номера которых кратны 12. А шоколадки – в квартиры, номера которых при делении на 12 дают остатки 4, 6, 8 или делятся нацело. Так как 300 делится на 12 нацело, таких квартир ровно вчетверо больше.

Ответ. Шоколадок больше в 4 раза.

4.12. Д.

4.13. Если на первой табличке написана правда, то и вторая табличка тоже правдива. Но обе таблички одновременно правдивыми быть не могут. Поэтому правда написана на второй табличке, а на первой – ложь. Значит, в первой комнате находится тигр, а во второй – принцесса.

Ответ. Вторую.