ЛОГИКА

§ 10. Достоверность и, соответственно, достоверное знание не имеют степеней. Если две истины обе достоверны, то нельзя сказать, что одна из них более достоверна, чем другая. Что дважды два будет четыре, ничуть не более и не менее достоверно, чем то, что дважды три будет шесть. Теорема Пифагора не более и не менее достоверна, чем теорема о площади круга или любая другая теорема евклидовой геометрии.

Напротив, вероятность и, соответственно, вероятное знание имеют степени, т. е. могут быть более или менее вероятными. Вероятность того, что, например, метеорит упадёт на городскую площадь, во много раз меньше вероятности того, что он упадёт в океане, в поле или в лесу.

При известных условиях степень вероятности может быть вычислена математически.

Допустим, я опускаю руку через отверстие в закрытый ящик, в который в неизвестном мне порядке положены десять шаров одинаковой величины, гладкости, плотности, веса. Из этих шаров семь — синих и три — красных. Какова вероятность, что я выну красный, а не синий шар? Очевидно, для решения этого вопроса надо, рассуждать следующим образом.

В нашей задаче мы можем определить полное число всех одинаково вероятных случаев как благоприятных для доставания красного шара, так и неблагоприятных для этого доставания. Число это равно десяти, так как в ящике всего десять шаров. Всех одинаково вероятных случаев, благоприятствующих доставанию красного шара, очевидно, три, так как красных шаров в ящике всего три и, доставая последовательно все десять шаров, более трёх красных из них достать нельзя. Число всех одинаково вероятных случаев, не благоприятствующих доставанию красного шара, будет семь, так как синих шаров, из которых при каждом доставании можно вытащить один вместо красного, имеется всего семь. Очевидно, степень логически обоснованной вероятности, что вытащенным окажется красный шар, будет выражаться дробью 3/10. В этой дроби числитель (3) есть число всех благоприятствующих условию задачи случаев, а знаменатель (10) — полное число всех одинаково возможных случаев, в сумме своей исчерпывающих все возможности данного испытания.

Если бы все десять шаров были красные, то степень вероятности указанного в задаче случая выразилась бы дробью 10/10, т. е. равнялась бы единице. В этом последнем случае степень вероятности, очевидно, равнялась бы достоверности.

Если бы все десять шаров были синие, то степень вероятности указанного в задаче случая выразилась бы дробью 0/10, т. е. равнялась бы нулю. В этом последнем случае степень вероятности, очевидно, равнялась бы достоверности ненаступления события.

В общей форме степень вероятности наступления события выражается дробью m/n, в которой m — число всех благоприятствующих наступлению события случаев, а n — число всех одинаково вероятных случаев, полностью исчерпывающих испытание, т. е. представляющее сумму всех случаев — как благоприятных, так и неблагоприятных.

Степень вероятности ненаступления события, очевидно, будет выражаться формулой 1 - m/n, т. е. (n-m)/n.

Как бы мала ни была величина дроби m/n, но, до тех пор пока дробь эта не стала равной нулю, имеется некоторая положительная, хотя бы ничтожная, вероятность, что данное событие наступит. Практически, конечно, степень вероятности, близкая к нулю, в расчёт не принимается. Так, хотя в Москве отнюдь не исключена возможность землетрясений, но ввиду их слабой интенсивности вероятность разрушительных землетрясений здесь весьма невелика и в практических расчётах строителей во внимание не принимается. Напротив, в Сан- Франциско, где степень вероятности разрушительных землетрясений, как показывает опыт, несравненно бо́льшая, строители должны считаться с нею в своих практических планах и расчётах.

Выводы вероятности представляют различную ценность для практической жизни и для науки. Чрезвычайно важное значение имеют выводы вероятных общих суждений из суждений о единичных и частных фактах. Такие выводы и называются индуктивными, а вся совокупность приёмов, или методов, посредством которых обосновываются эти выводы, называется индукцией.

Индуктивные методы, или виды индукции, различаются между собой по своей ценности для знания, а именно: 1) по способности давать знание новое сравнительно с тем, которое содержится в посылках, и 2) по степени вероятности, с какой различные виды индукции обосновывают общие заключении.

Полная индукция

§ 11. Первый вид индукции образует полная индукция. Так называется индуктивное умозаключение, в котором общий вывод извлекается из ряда единичных посылок, исчерпывающих в своей сумме все возможные случаи или все возможные виды известного рода.

Пример полной индукции: