Лобачевский

Молодой, увлекающийся, впечатлительный и разносторонний, Риман занимался вопросами топологии, теории функций, математической физикой, газовой динамикой, психологией, написал «Новые математические принципы натурфилософии», в которых предвосхитил теорию Максвелла; под влиянием Гельмгольца составил работу о механизме уха и глаза. Он был поэтом, хотя и не писал стихов: ему хотелось считать, что небесные тела, в том числе и Земля, одушевлены. Он мечтал получить кафедру в Берлинском университете и начать деятельность большого размаха, стать главой школы в области интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных и математической физики. Он чувствовал избыток сил, грандиозные планы переполняли его. Он замыслил построить вполне законченную математическую теорию, которая, исходя из элементарных законов взаимодействия отдельных точек, охватила бы все процессы, происходящие в окружающем нас физическом непрерывном пространстве, независимо от того, идет ли речь о тяготении, электричестве, магнетизме или равновесии тепла.

Прошло много лет, и вот Риман вновь в Геттингене. Он успешно защитил докторскую диссертацию, где содержалась целая программа научных исследований в области аналитических функций, указывающая один из путей развития этой теории на целое столетие.

Но Гаусс верен себе: он слышать не желает о «самоучке». Какое дело семидесятисемилетнему Гауссу до Римана? Говорят, этот Риман тяжело болен, харкает кровью. Что из того?

И все же иметь дело с Риманом Гаусс вынужден. Риману по существующим правилам следует вступить в профессорскую общину. А для этого он должен прочитать перед факультетом пробную лекцию. Тему утверждает Гаусс. Они снова встречаются. Риман отпустил усы и бороду. В свои двадцать семь лет он выглядит весьма солидно. Никаких воспоминаний. Холодная вежливость. Подобная сдержанность импонирует Гауссу. Риман представил три темы. Гаусс рекомендует взять самую сложную: «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Ему интересно знать, как выпутается из всего этого «бородатый мальчишка-самоучка».

— Вы знакомы с мемуаром Лобачевского «Геометрические исследования»? Предложение казанского геометра я считаю одной из гипотез, лежащих в основании геометрии.

Да, Риман знаком с работами Лобачевского, восхищен ими, хотя и не понимает, почему русский математик так легко отбросил «теорию тупого угла». Изыскания самого Гаусса и Лобачевского и побудили Римана включить в список тему «О гипотезах». Он много размышлял о так называемых «многократно протяженных многообразиях», а также о «теории тупого угла» Саккери и Ламберта. Неэвклидовых геометрий может быть несколько.

Гаусс заинтригован.

— Да, да, я обязательно приду на вашу лекцию, господин Риман. А мемуар Лобачевского все-таки возьмите, проштудируйте еще раз.

— Весьма признателен, господин тайный советник.

Каков тон! «Многократно протяженные многообразия»… Что бы это могло значить?

10 июня 1854 года в заседании философского факультета Геттингенского университета Риман прочитал вводную лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».

Все, что он говорил, лежало на грани здравого смысла. Во всяком случае, профессора ничего не поняли. Многие из них, не будучи математиками, не восприняли то, что уже давно витало в воздухе, ожидая кристаллизации. Это была идея многомерной геометрии.

Риман глубоко усвоил достижения Лобачевского и Гаусса и пошел дальше.

Например, Риман выдвинул свой постулат: через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной параллельной линии к данной прямой! И создал свою геометрию.

В этой геометрии параллельных линий нет совсем, а сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых; различные перпендикуляры к прямой не параллельны (как в эвклидовой геометрии) и не pacxoдятся (как в геометрии Лобачевского), а пересекаются; все прямые — замкнутые линии. То, что в такой геометрии нарушаются и другие аксиомы Эвклида, а не только один пятый постулат, мало смущало Римана. А почему бы новой геометрии не иметь свои собственные аксиомы, отличные от эвклидовых?

Замкнутость прямой влечет за собой признание замкнутости, конечности плоскости, поверхности или пространства. На какой же поверхности реализуется эта диковинная геометрия? Оказывается, планиметрия Римана может быть истолкована при помощи обыкновенной геометрии на поверхности сферы.

Спрашивается: зачем было городить огород и открывать то, что давным-давно открыто Гауссом и другими? Ведь Гаусс уже создал геометрию кривых поверхностей, в том числе и сферы.

Но все дело в том, что Гаусс стремился понять законы внутренней геометрии той или иной поверхности, а Римана волновала загадка пространства. Он вслед за Лобачевским показал, что метрика пространства зависит от характера действующих сил. Эллиптическая геометрия может осуществляться не только на поверхности сферы, но и в трехмерном пространстве.