Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Выберем потенциал, имеющий два минимума в точках x=x₀ и x₁ и обращающийся в этих точках в нуль (рис. 30, а). Если выполняется условие E>max V, движение из точки x₀ в точку x₁ разрешено, и, исходя из выражения (40.5), для волновой функции ψ можно вычислить амплитуду "рассеяния". Но если выполняется условие E

⟨x

₁

|x

₀

⟩=Ce

^i𝓐(x1,x0)

(40.7)

должна быть заменена амплитудой туннелирования

⟨x

₁

|x

₀

⟩=Ce

^-𝓐(x2,x0)

(40.8)

где действие 𝓐 вычисляется не вдоль траекторий, определяемых уравнением (40.6), а вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнению

-½mẍ+V(x)=E.

(40.9)

Мы видим, что для получения амплитуды туннелирования можно использовать ту же формулу, что и для амплитуды перехода, производя лишь формальную замену переменной t на it как в выражении для действия

𝓐=

∫

^t(x₁)

 

_t(x0)

𝑑t L→i

𝓐

так и в уравнениях движения (40.6) - (40.9).

Выражения (40.5) и (40.8) не нормированы. Но их легко нормировать, разделив на амплитуду ⟨x₀|x₀⟩. Таким образом, можно заключить, что в квантовой теории поля амплитуда туннелирования в ведущем приближении выражается в виде

⟨Ψ

₁

,t=+∞|Ψ

₀

,t=-∞⟩

≈

C exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

φ

_cl

)

⎫

⎬

⎭

(40.10)

где φ_cl классическое решение евклидовых уравнений движения, т.е. уравнений движения, в которых проведена замена x₀→ix₄, где переменная x₄ вещественна

Согласно обсуждению, проведенному в начале данного параграфа, выражение (40.10) можно рассматривать как ведущий член разложения точного выражения

⟨Ψ

₁

,t=+∞|Ψ

₀

,t=-∞⟩

=

N exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

𝑑

⁴

x

ℒ

(

φ

_cl

)

⎫

⎬

⎭

(40.11)

по степеням постоянной Планка ħ в окрестности классической траектории φ_cl.

Важное свойство состояний системы, находящейся в условиях, когда возможно туннелирование, заключается в следующем. В стационарных состояниях (в частности, в основном состоянии, которое должно быть отождествлено с вакуумом теории поля) система не локализована в одном из минимумов потенциала V, а распределяется между всеми минимумами. В случае КХД это будет показано на примере периодического потенциала, подобного потенциалу рис. 30, б.

§ 41. Формализм функциональных интегралов в квантовой хромодинамике; калибровочная инвариантность

Формализм, развитый в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к квантовой хромодинамике, если сначала рассмотреть вопрос о калибровочной инвариантности. Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбрать физическую калибровку

u⋅B

_a

(x)=0, u²≥0,

(41.1)

так что интегрирование в функциональном интеграле производится по полям B, удовлетворяющим условию (41.1). Теперь производящий функционал с точностью до произвольного нормировочного множителя N определяется в виде

Z=N

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)(𝑑B)

 

∏

^a,x

δ(u⋅B

_a

(x)) exp i

∫

𝑑

⁴

x ℒ

_u

,

(41.2)

где введены часто употребляемые в дальнейшем обозначения (𝑑q)≡Π_x,ƒ,i,α𝑑qⁱ_ƒα(x), (𝑑B)≡Π_x,μa𝑑B^μ_a(x) и т.д., a ℒ_u - лагранжиан КХД, не содержащий членов, фиксирующих калибровку. Это все, что требуется, если мы хотим работать в физической калибровке. Но хотелось бы также распространить формализм функциональных интегралов и на другие типы калибровок, в частности на ковариантные калибровки. Калибровочные условия можно записать в виде

K

_a

[B(x)]=0,

(41.3)

где K - функционал, фиксирующий калибровку. Например, лоренцева калибровка имеет вид

K

_a

[B(x)]=∂

_μ

B

^μ

_a

-φ

_a

(x),

(41.4)

где поле φ представляет собой заданную функцию (в частности, можно взять φ=0).

Пусть T(θ) - калибровочное преобразование, задаваемое параметрами θ(x), а B_T — поля, возникающие из полей B под действием этого калибровочного преобразования:

B

_μ

^Ta

(x)=B

_μ

^a

(x)+g

∑

ƒ

_abc

θ

_b

(x)B

_μ

^c

(x)-∂

^μ

θ

_a

(x)

(ср. с § 3). Величина

Δ

_-1

^K

[B]=

∫

 

∏

^x,a

𝑑θ

_a

(x)

 

∏

^x,a

δ(K

_a

[B

_T

(x)])

(41.5)

при калибровочных преобразованиях не изменяется:

Δ

_-1

^K

[B

_T

]=

Δ

_-1

^K

[B

_T

].

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что элемент интегрирования Π_x,a𝑑θ_a является калибровочно-инвариантной величиной. В случае инфинитезимальных преобразований (которые только и нужны) это очевидно, так как

T(θ)T(θ')=T(θ+θ')

Забудем на время о существовании кварков, роль которых при калибровочных преобразованиях вполне ясна. Выражение (41.2) можно переписать в виде

Z=N

∫

(𝑑B)(𝑑θ)

∏

δ(u⋅B

_a

(x))

∏

δ(K

_b

[B

_T

)

Δ

_K

[B

_T

]e

^i𝓐_YM

,

(41.6)

где чисто янг-миллсовское действие

𝓐

_YM

=-

1

4

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_aμν

(x)G

_μν

^a

(x).

Предположим, что в выражении (41.6) производится замена переменной, вызванная калибровочным преобразованием вида

B(x)→B

_T0

(x),

где преобразование T₀ выбрано равным T^-1. При такой замене переменных получаем

Z=N

∫

(𝑑B)(𝑑θ)

Δ

_K

[B]

∏

δ(u⋅B

_T0a

(y))

∏

δ(K[B(y)]) e

^i𝓐_YM

.

Пусть поля B_u являются глюонными полями, удовлетворяющими условию (41.1). Поле B_T0 можно найти, производя калибровочное преобразование U(θ_u). Тогда имеем

δ(u⋅B

_T0

)=δ(u⋅B

_uU

),

и, таким образом, выполняется соотношение

∫

(𝑑θ)

∏

δ(u⋅B

_T0a

(y))=

∫

(𝑑θ)

∏

δ(-u⋅∂

^μ

θ

_ua

(y)),

которое не зависит от значений полей B и, следовательно, может быть включено в нормировочный множитель N. Для производящего функционала получаем

Z=N'

∫

(𝑑B)

Δ

_K

[B]

∏

δ(K[B]) e

^i𝓐_YM

.

(41.7)

Теперь необходимо устранить δ-функцию и вычислить множитель Δ_K. Для Устранения δ-функции выберем, например, лоренцеву калибровку (41.4); интегрируя выражение (41.7) по 𝑑φ с весом

exp

⎧

⎨

⎩

-iλ

2

∫

𝑑

⁴

x [φ

_a

(x)]

²

⎫

⎬

⎭

,

в левой части получаем производящий функционал Z, умноженный на не зависящий от полей B фактор

∫

(𝑑φ) exp

⎧

⎨

⎩

-iλ

2

∫

𝑑

⁴

x [φ

_a

(x)]

²

⎫

⎬

⎭

,

который снова можно включить в нормировочный множитель N', а в правой части интегрирование по полям 𝑑φ тривиально выполняется с помощью δ-функции. Таким образом, для производящего функционала получаем

Z=N''

∫

(𝑑B)

Δ

_K

[B] e

^{i(𝓐_YM+𝓐_GF)}

,

(41.8)

где фиксирующее калибровку действие имеет вид

𝓐

_GF

=

-λ

2

∫

𝑑

⁴

x [∂

_μ

B

_μ

^a

(x)]².

Обратимся к множителю Δ_K. Благодаря формуле (41.7) нам необходимы только такие функции B, описывающие глюонные поля, которые удовлетворяют условию (41.3). Для инфинитезимальных значений параметров θ калибровочного преобразования имеем K[B_T]=K[B]+(δK/δB)δB∼(δK/δB)δB, δB=B_T-B, так что

Δ

_-1

^K

[B]=

∫

(𝑑θ)

∏

δ

⎧

⎪

⎩

δ(∂B_a)

δB

_μ

^b

(∂

^μ

θ

_b

-g∑ƒ

_bcd

B

_μ

^a

θ

_c

)

⎫

⎪

⎭

.

Этой формуле можно придать более удобный вид, вводя ду́хи Фаддеева - Попова, представленные актикоммутирующими c -числовыми функциями ω и ω. Тогда, выделяя не зависящий от полей B и ω нормировочный множитель N, величину Δ_K можно представить в виде

Δ

_K

[B]

=

N

∫

(𝑑ω)(𝑑

ω

)

×

exp

⎧

⎨

⎩

-i

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

ω

_a

(y)

δ(∂B_a)

δB

_μ

^b

×

⎡

⎢

⎣

∂

^μ

ω

_b

(x)-g∑ƒ

_bcd

B

_μ

^d

ω

_c

(x)

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

.

41.9

Доказательство этого выражения основано на формуле

∫

 

∏

ⁱ

𝑑c

_i

 

∏

^j

𝑑

c

_j

e

^{∑c_kA_kk'c_k'}

=(constant)det A,

которая справедлива^52а) для антикоммутирующих c-чисел c_j, и на том факте, что вследствие равенства

^52а) Для доказательства используем соотношение ∫

_N0

∏

ⁱ⁼¹ 𝑑c_i

_N0

∏

^j=1 𝑑c_j e^{∑c_kA_kk'c_k} = ∫

_N0

∏

ⁱ⁼¹ 𝑑c_i

_N0

∏

^j=1 𝑑c_j

_∞

∑

^N=0

⎧

⎨

⎩ ∑c_kc_k'A_kk'

⎫^N

⎬

⎭

1

N! . В силу правил интегрирования по фермионным переменным отличен от нуля только член с N=N₀ , поэтому получаем

(-1)^N₀

N₀! ∑sign(k₁,…,k_N0) sign(k'₁,…,k'_N0) A_k1k'1…A_kN0A_k'N0, где производится суммирование no всем возможным перестановкам индексов k₁,…,k_N0; k'₁,…,k'_N0, каждый из которых пробегает значения 1, 2,…, N₀. Это не что иное, как (-1)^N₀det(A/N₀!). Дополнительный множитель (-i) в экспоненте выражения (41.9) дает вклад только в коэффициент перед формулой; это означает, что фаза фермионного члена произвольна. Мы выберем ее так, чтобы она совладала с фазой члена, соответствующего обычным скалярным полям.

∫

𝑑x

₁

…𝑑x

_k

_k

∏

ⁱ⁼¹

δ(ƒ

_i

(x

₁

,…,x

_k

))

=

1

det(∂ƒ_i/∂x_j)

,

величина Δ_K представляет собой просто определитель (бесконечномерной) матрицы

∂

∂θ

⎧

⎨

⎩

δ(∂B

 

^a

)

δB

_μ

^b

⎧

⎩

∂

^μ

θ

_b

-g

∑

ƒ

_bcd

B

_μ

^d

θ

_c

⎫

⎭

⎫

⎬

⎭

Осталось сделать последний шаг, чтобы завершить наше рассмотрение. Функциональная производная, входящая в (41.9), имеет вид (см. приложение 3)

δ(∂B

 

^a

(x))

δB

_μ

^b

(y)

=δ

_ab

∂δ(x-y),

поэтому оператор дифференцирования ∂_μ можно перенести в левую часть уравнения и провести интегрирование по 𝑑⁴y. В итоге для производящего функционала получаем

Z=

N

∫

(𝑑B)(𝑑ω)(𝑑

ω

)

e

^{i(𝓐_YM+𝓐_GF}

+𝓐

_FP

),

(41.10а)

где действие, соответствующее ду́хам Фаддеева - Попова, имеет вид

𝓐

_FP

=

∫

𝑑

⁴

x

∑

(∂

_μ

ω

_a

(x))

⎡

⎣

δ

_ab

∂

^μ

-gƒ

_abc

B

_μ

^c

(x)

⎤

⎦

ω

_b

(x),

(41.10б)

что согласуется с результатом, полученным в § 5.

Чтобы получить функции Грина, необходимо ввести антикоммутирующие источники η_a,η_a; ξ_iƒ,ξ_iƒ для ду́хов ω_a,ω_a и кварков qⁱ_ƒ,qⁱ_ƒ соответственно и коммутирующие источники λ^μ_a для глюонных полей B^μ_a. Таким образом, нашей отправной точкой является функционал

Z[η,

η

;ξ,

ξ

;λ]

=

∫

(𝑑q)(𝑑

q

)

(𝑑ω)(𝑑

ω

)

(𝑑B)

×

exp i

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

ℒ

_ξ

^QCD

+ℒ

_λ

⎫

⎬

⎭

,

(41.11а)

где лагранжиан ℒ^ξ_QCD описывается формулой (5.11), а

ℒ

_λ

=

∑

⎧

⎨

⎩

η

_a

ω

_a

+

ω

_a

η

_a

+

ξ

_iƒ

q

_i

^ƒ

+

q

_i

^ƒ

ξ

_iƒ

+λ

_aμ

B

_μ

^a

⎫

⎬

⎭

.

(41.11б)

Формализм функциональных интегралов позволяет ввести чрезвычайно красивый метод, так называемый метод фоновых полей⁵³⁾, который обладает тем преимуществом, что эффективное действие, фигурирующее в этом методе (см. § 39), калибровочно-инвариантно . Это равносильно рассмотрению фиксирующего калибровку условия

⁵³⁾ Этот метод впервые был введен де Виттом и обобщен (в частности, на калибровочные теории) т’Хофтом.

K[B]=

∑

⎧

⎪

⎩

∂

_μ

B

_μ

^a

+g∑ƒ

_adc

b

_μ

^d

B

_cμ

⎫²

⎪

⎭

,

где b — классические "фоновые" поля, сдвигающие глюонные поля B→B+b, и вычислению функциональных производных по полям b. Подробное изложение и ссылки на литературу можно найти в работе [3].