Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^̃

_a

^νλ

⎫

⎬

⎭

,

(43.6)

которое в случае дуальных полевых конфигураций обращается в нуль: μν=0. Таким образом, дуальные поля G могут соответствовать нетривиальным вакуумным состояниям.

Другое свойство дуальных полей состоит в том, что они должны удовлетворять условию минимума евклидова действия, для которого можно написать

𝓐

=

1

4

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_a

^μν

G

_a

^μν

=

1

4

∑

∫

𝑑

⁴

x

⎧

⎨

⎩

1

2

(

G

_a

^μν

±

G

^̃

_a

^μν

)²±

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

⎫

⎬

⎭

≥

1

4

⎪

⎪

⎪

∫

𝑑

⁴

x

∑

GG

^̃

⎪

⎪

⎪

.

(43.7)

Таким образом, действие является положительно определенной величиной, достигающей минимума в случае дуальных полей, когда справедливо равенство

𝓐

=

1

4

⎪

⎪

⎪

∫

𝑑

⁴

x

∑

G

_a

^μν

G

^̃

_a

^μν

⎪

⎪

⎪

=

1

4

∫

𝑑

⁴

x

 

∑

^μ,ν,a

(

G

_a

^μν

)².

(43.8)

Но по крайней мере в условиях, когда справедливо квазиклассическое ВКБ-приближение, известно, что амплитуда туннелирования определяется величиной exp(-𝓐), поэтому в ведущем порядке эффект туннелирования, если он существует, определяется дуальными полевыми конфигурациями.

Мы уже упоминали о "нетривиальных вакуумных состояниях". Нетрудно убедиться, что существуют такие ненулевые значения глюонных полей B, для которых G=0. В самом деле, поля общего вида, удовлетворяющие этому условию, называются чистой калибровкой; их можно получить из тривиальных полевых конфигураций B=0 калибровочными преобразованиями. Чтобы убедиться в этом, запишем конечное калибровочное преобразование в виде

B

_μ

^a

(x)

→

B'

_μ

^a

(x)=2Tr t

^a

U

^-1

(x)t

^b

U(x)B

_μ

^b

(x)

-

2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)∂

^μ

U(x)

(43.9)

(ср. с формулой (3.1)). Здесь U(x) - любая зависящая от пространственно-временной точки x матрица, удовлетворяющая условиям U⁺(x)=U^-1(x), det U(x)=1. Но если B=0, то преобразованное поле B' имеет вид

B'

_μ

^a

(x)=-

2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)∂

^μ

U(x).

(43.10)

Калибровочная инвариантность тензора напряженности глюонных полей G^μν_a обеспечивает равенство G'^μν=G^μν=0. Нетривиальными будут решения, для которых G≠0.

§ 44. Инстантоны

Будем искать евклидовы полевые конфигурации, ведущие к дуальному тензору напряженностей G. Для упрощения обозначений предполагаем суммирование по повторяющимся или опущенным цветовым индексам.

Нас интересуют поля, приводящие к конечному значению действия. Это означает, что мы требуем, в частности, выполнения условия

 

lim

^x→∞

|x|²

G

_μν

(x)=0,

(44.1)

где евклидова длина определяется формулой

|x|≡+

⎧

⎨

⎩

₄

∑

^μ=1

(x

_μ

)

²

⎫½

⎬

⎭

.

Пусть матрица U(x) осуществляет калибровочное преобразование, т.е. является матрицей размерности Зх3, для которой det U=1 и det U^-1=U⁺. Условие (44.1) будет выполнено, если при больших значениях x глюонное поле B представляет собой результат калибровочного преобразования, проведенного над нулевым полем, т.е. асимптотически является чистой калибровкой. Таким образом,

B

_μ

^a

 

→

^|x|→∞

-2

ig

Tr t

^a

U

^-1

(x)∂

^μ

U(x)

B

_μν

^a

 

→

^|x|→∞

0,

(44.2)

Попробуем рассмотреть анзац

B

_a

^μ

=φ(|x|²)

B

^́

_a

^μ

,

B

^́

_a

^μ

=

-2

ig

Tr t

^a

U

^-1

∂

_μ

U, φ

 

→

^|x|→∞

1.

(44.3)

Поучительно проверить, что тензор напряженностей G^́, соответствующий полям B^́, равен нулю. С этой целью определим матрицы

ℬ

_μ

≡t

^a

B

_a

^μ

,

𝒢

_μν

≡t

^a

G

_a

^μν

.

(44.4а)

Очевидно, справедливы соотношения

B

_a

^μ

=2Tr t

^a

ℬ

_μ

,

G

_a

^μν

=2Tr t

^a

𝒢

_μν

,

(44.4б)

𝒢

_μν

=∂

_μ

ℬ

_ν

-∂

_ν

ℬ

_μ

-ig[

ℬ

_μ

,

ℬ

_ν

].

(44.4в)

Соотношения (44.4) справедливы, конечно, и в пространстве Минковского. Но если поле B описывается формулами (44.3), то оно имеет асимптотику

ℬ

_μ

 

≃

^|x|→∞

-

1

ig

U

^-1

∂

_μ

U,

(44.5)

так что

𝒢

_μν

 

≃

^x→∞

1

-ig

{∂

_μ

(U

^-1

∂

_ν

U)-∂

_ν

(U

^-1

∂

_μ

U)}

-

-ig

⎧

⎩

1

-ig

⎫²

⎭

[U

^-1

∂

_μ

U,U

^-1

∂

_ν

U]

=

1

-ig

{-U

^-1

(∂

_μ

U)U

^-1

(∂

^ν

U)

+U

^-1

(∂

_ν

U)U

^-1

(∂

_μ

U)

+

1

-ig

[U

^-1

∂

_μ

U,U

^-1

∂

_ν

U]=0 .

Заметим, что члены второго и четвертого порядка по матрице U сокращают друг друга; множитель 1/g оказывается существенным в силу нелинейности тензора G. Это отражает непертурбативный характер решений.

Если U представляет собой элемент группы, который можно непрерывным образом связать с тождественным преобразованием, то тензор 𝒢 обращается в нуль не только асимптотически: 𝒢=0. Поэтому необходимо рассмотреть такую матрицу U, которую нельзя представить в простой форме exp[itθ(x)]. Единственная возможность состоит в объединении пространственно-временны́х и цветовых индексов. Это оказывается допустимым только благодаря тому, что размерность пространства-времени равна четырем. Соответствующей группой инвариантности является группа SO(4), алгебра Ли которой (ее комплексная алгебра Ли) изоморфна произведению двух алгебр Ли группы SU(2). Таким образом, группу SO(4) можно связать с подгруппой SU(2) цветовой группы SU(3). Поэтому будем искать матрицу U в виде

U=

⎧

⎩

u

0

0

1

⎫

⎭

,

где u - матрица SU(2) размерности 2x2. Пусть

σ

₄

=

⎧

⎩

1

0

0

1

⎫

⎭

,

- единичная матрица, а σ_i - матрицы Паули. Любую матрицу размерности 2x2 можно записать в виде суммы A=∑a_μσ_μ. Если ввести обозначения â_i=-a_i, â₄=â₄, то легко убедиться в справедливости равенств

⎧

⎩

∑

a

_μ

σ

_μ

⎫

⎭

⎧

⎩

∑

â

_μ

σ

_μ

⎫

⎭

=

∑

a

_μ

â

_μ

и

det A=

∑

a

_μ

â

_μ

;

таким образом, мы получаем, что матрицу общего вида u можно записать в виде

u

_ƒ

=

1

|ƒ(x)|

{σ

₄

ƒ

₄

(x)+i

^⃗

σ

^⃗

ƒ(x)}, ƒ

_(x)

вещественно.

(44.6)