Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Если учесть члены второго порядка малости по константе связи α_g в разложении для ренормгрупповой (β -функции (член ∼ (g²(ν)/16π²)² в ( 14.1)), то для бегущей константы связи получим

α

₍₂₎

^s

(Q

²

)

=

12π

(33-2n

_ƒ

)log Q

²

/Λ

²

⎧

⎪

⎩

1-3

153-19n

_ƒ

(33-2n

_ƒ

)

²

⋅

log log Q

²

/Λ

²

½log Q

²

/Λ

²

⎫

⎬

⎭

.

(14.4 в)

Мы видим, что α_s⁽²⁾(Q²)/α_s(Q²)→1 и оба выражения (14.46) и (14.4в) логарифмически стремятся к нулю в пределе (Q²)→∞²²⁾. В этом и состоит проявление замечательного свойства квантовой хромодинамики — явления асимптотической свободы, которое впервые обсуждалось в работах Гросса и Вильчека [160] и Политцера [218]. С учетом выражения (12.7) оно означает, что при больших пространственноподобных импульсах λp_i∼q, q²=-Q² квантовая хромодинамика представляет собой свободную квантовополевую теорию с точностью до логарифмических поправок. Более того, в пределе (Q²)→∞ константа связи α→0. Следовательно, эти поправки можно вычислить в виде ряда теории возмущений по малой константе связи α_s.

²²⁾ При условии, что число ароматов n_ƒ≤16. Это ограничение достаточно слабое и легко выполнимое. Экспериментально пока обнаружены кварки пяти ароматов. Современная теория предсказывает существование шестого, так называемого t -кварка. (Указания на экспериментальное обнаружение t -кварка получены в анализе адронных струй на pp-коллайдере. — Прим. перев.)

Можно также вычислить бегущую массу. В низшем порядке теории возмущений потребуем выполнения соотношений (12.2), (12.6) и (9.14). Тогда получим

1

m

⋅

d

m

d

log λ

= γ

₍₀₎

^m

g

²

16π

²

=

γ

₍₀₎

m

2β

₀

log λ

 

 

.

Используя выражение (14.4а), полагая log Q²/Λ²=2log λ и вводя константу интегрирования m̂ (которая представляет собой аналог параметра Λ), получаем выражение для эффективной массы

m

(Q

²

)=

m̂

(½log Q

²

/Λ

²

)

^{-γ(0)_m/β₀}

, γ

₍₀₎

^m

=-3C

_F

.

(14.5 а)

Подставляя значения коэффициентов β₀ и γ_m, окончательно имеем

m

(Q

²

)=

m̂

(½log Q

²

/Λ

²

)

^d_m

, d

_m

=

12

33-2n

_ƒ

,

(14.5 б)

где коэффициент d_m иногда называют аномальной размерностью массы.

Аналогично можно вычислить бегущий калибровочный параметр. Подробное вычисление можно найти в работе [209]. Приведем лишь результат

ξ

Q

²

=

1-

1

 

λ̂ (½log Q

²

/Λ

²

)

^d_ε

⎧

⎨

⎩

1+

9

39-4n

_ƒ

⋅

1

 

λ̂ (½log Q

²

/Λ

²

)

^d_ε

⎫^-1

⎬

⎭

,

d

_ε

=

1

2

⋅

39-4n

_ƒ

33-2n

_ƒ

.

В заключение этого параграфа приведем результат вычисления эффективной массы m⁽²⁾ в двухпетлевом приближении [242]:

m

⁽²⁾

(Q

²

)

=

m̂

(½log Q

²

/Λ

²

)

^d_m

⎧

⎨

⎩

1

-γ

₍₀₎

^m

β

₁

β

₂

⁰

⋅

log log Q

²

/Λ

²

2log Q

²

/Λ

²

+

1

2β

₂

⁰

⎧

⎪

⎩

γ

₍₁₎

^m

-γ

₍₀₎

^m

β

₁

β

₀

⎫

⎪

⎭

1

log Q

²

/Λ

²

⎫

⎬

⎭

,

γ

₍₁₎

^m

=

3

⎧

⎪

⎩

n

₂

^c -1

2n

 

^c

⎫²

⎪

⎭ 

+

97

6

⋅

n

₂

^c -1

 

  4

-

5n_ƒ (n

₂

^c -1)

3n

 

^c

,

(14.5 в)

где n_c = 3 (число цветов). В качестве примера использования развитой здесь техники приведем вывод импульсной зависимости кваркового пропагатора в пределе больших импульсов Q² ≫ Λ²

S

_R

(p,q(ν),m(ν),ξ(ν);ν) ,

p

²

=-Q

²

≫ Λ

²

.

Размерность кваркового пропагатора S_R равна ρ_S=-1. Следовательно, замечая, что Z=Z_F (в пропагаторе S_R сохранены внешние линии: "усеченный" пропагатор S_R был бы просто равен S^-1_R, при условии p=λn, n²=-Λ² из уравнения (12.7) получаем

S

_R

(p,g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

=

S

_R

(p,

g

(ν),

m

(ν),

ξ

(ν);ν)

⎧

⎪

⎩

Q²

Λ²

⎫^-½

⎪

⎭ 

×

exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

^{log Q/Λ}

 

₀

d

logλ'

1-ξ

3π

α

_g

(λ')

⎫

⎬

⎭

.

В ведущем приближении по α_s выражение для кваркового пропагатора принимает вид

S

_R

(p,

g

(ν),

m

(ν),

ξ

(ν);ν)

 

≃

^Q2→∞

i

n

Используя формулу (14.4а), окончательно получаем

S

_R

(p,g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

 

≃

^Q2≫Λ2

i

p

⋅

1

(½log Q²/Λ²)^dFξ

,

(14.6 а)

(Q²=-p²), где аномальная размерность кваркового поля записывается в виде

d

^Fξ

=

3

2

⋅

(1-ξ)C_F

11C_A-4T_Fn_ƒ

=2

1-ξ

33-2n_ƒ

.

(14.6 б)

Таким образом, кварковый пропагатор S_R в пределе больших импульсов с точностью до логарифмических поправок (log Q/Λ)^-d_Fξ ведет себя аналогично пропагатору свободного кваркового поля. Отметим, что аномальная размерность кваркового поля d_Fξ, как и ожидалось, зависит от калибровочного параметра и равна нулю в калибровке Ландау, в которой кварковый пропагатор имеет каноническую размерность.

Глава III. ПРОЦЕССЫ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ

§15. е⁺е^- -аннигиляция в адроны

Лагранжиан, описывающий сильное и электромагнитное взаимодействия кварков, можно представить в виде

ℒ

_QCD+em

=

 

∑

^q

{

i

q

D

q-m

_q

q

q

}

-

1

4

(D×B)

²

+

e

 

∑

^q

Q

_q

q

γ

_μ

qA

^μ

-

1

4

F

_μν

F

^μν

(15.1)

где Q_q - заряд кварка q в единицах заряда протона e. В формуле (15.1) опущены члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов. Электромагнитный ток кварков равен

J

^μ

=

 

∑

^q

Q

_q

:

q

γ

^μ

q: .

Рассмотрим некоторое адронное состояние Γ. Сечение аннигиляции неполяризованных электрона e^- и позитрона e⁺ в адроны определяется как усредненная по спинам начальных электрона и позитрона сумма по всем возможным конечным состояниям адронной системы, возникающей в результате процесса e⁺e^-→Γ. Для того чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим матричный элемент

⟨Γ|S

_QCD+em

|e

⁺

e

^-

⟩

=⟨Γ|Τ exp i

∫

d

⁴

x

{

ℒ

_int,QCD

(x)+ℒ

_int,em

(x)

}

|e

⁺

e

^-

⟩ .