Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

m

_uD

=Z

_m

(ν)m(ν),

λ

_uD

=Z

_λ

(ν)λ(ν),

ξ=1-λ

^-1

(11.6)

Легко видеть, какая требуется зависимость от параметра ν. Напомним, что параметр ν₀ входил во все выражения в комбинации

d

^D

k̂=

d

^D

k

(2π)

^D

ν

_4-D

⁰

,

так что зависимость от ν₀ имеется только в расходящихся частях интегралов

Γ(2/ε)(4π)

^ε/2

(

ν

₂

⁰

)

^ε/2

.

Следовательно, все перенормировочные множители Z_ν имеют вид

Z

_j

(ν)=1+

C

₍₁₎

^j

(ν)

g

²

16π

²

+…,

(11.7 а)

C

₍₁₎

(ν)=c

₍₁₎

^j

^j

{

2

ε

-γ

_E

+log4π+log

ν

₂

⁰

ν

₂

 

}

.

(11.7 б)

Коэффициенты перед членом log ν² с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами c⁽¹⁾_j. В низших порядках теории возмущений легко показать, что в μ-схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log μ².

Преобразования вида μ→μ' (или ν→ν') образуют ренормализационную группу^17в), впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, используя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзиком [239], которое рассматривается в следующем параграфе.

^17в) В действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перенормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида Τ(R₁→R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.

§ 12. Уравнение Каллана - Симанзика

Уравнение Кадлана — Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины Γ_u, g_u, m_u, ξ_u не зависят от значения параметра ν (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и (11.6) немедленно получаем уравнение

νd

dν

Γ

_uD

(p

₁

,…,p

_N-1

;g

_uD

,m

_uD

,λ

_uD

)=0,

т.е.

{

ν∂

∂ν

+g∂

∂

∂g

+(1-ξ)λδ

∂

∂λ

+

 

∑

^q

m

_q

γ

_m,q

∂

∂m

_q

-γ

_Γ

}

×Γ

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g(ν),m(ν),λ(ν);ν)=0.

(12.1)

Здесь введены универсальные функции β, γ_k и δ, определяемые соотношениями

ν

d

dν

g(ν)=g(ν)β,

ν

d

dν

m

_q

(ν)=m

_q

(ν)γ

_m,q

,

ν

d

dν

λ(ν)={1-λ(ν)}δ.

(12.2)

и

Z

_-1

=Z

_½

…Z

_½

^Γ

^Φ₁

^Φ_N

,

Z

_-1

ν

_d

Z

_Γ

=γ

_Γ

^Γ

dν

.

(12.3)

Функции β, γ и δ можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины g_u, m_u и ξ_u не зависят от параметра ν:

β=-Z

_-1

^g

(ν)ν

_d

dν

Z

_g

(ν),

γ

_m,q

=-Z

_-1

^m

(ν)ν

d

dν

Z

_m

(ν),

δ=-Z

_λ

(ν)ν

d

Z

_-1

dν

_λ

(ν).

(12.4)

Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру ν∂/∂ν. Но его можно представить в более удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины Γ_R равна ρ_Γ; тогда величина ν^-ρΓΓ_R является безразмерной¹⁹⁾, поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в λ раз: p_i→λp_i. В результате получим

¹⁹⁾ Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие Α=∫d⁴xℒ(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]^3/2, полей д́ухов [ω]=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора ρ_S=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d⁴x).

ν

^-ρΓ

Γ

_R

(λp

₁

,…,λp

_N-1

;g,m,a

^-1

;ν) = F(λp

₁

/ν,…,λp

_N-1

/ν;g,m/ν,a

^-1

).

Чтобы отличать масштаб изменения импульсов λ от калибровочного параметра, последний обозначим через a=λ^-1. Теперь, заменяя частную производную ν∂/∂ν на производную -λ∂/∂λ, получаем уравнение Каллана-Симанзика

{

-

∂

∂logλ

+gβ

∂

∂g

+(a

^-1

)δ

∂

∂a

^-1

+

 

∑

^q

m

_q

(γ

_m,q

-1)

∂

∂m

_q

+ρ

_Γ

-γ

_Γ

}

×Γ

_R

(λp

₁

,…,λp

_N-1

;g,m,ξ,ν)=0.

(12.5)

Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями

d

g

(λ)

d logλ

=

g

(λ)β(

g

(λ)) ,

d

m

(λ)

d logλ

=

m

(λ)γ

_m,q

 ,

d

a

(λ)

^-1

d logλ

=

a

^-1

δ ,

(12.6 а)

и удовлетворяющие граничным условиям

g

 

_λ=1

=g(ν) ,

m

 

_λ=1

=m(ν) ,

a

 

_λ=1

=a(ν) .

(12.6 б)

Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде

Γ

_R

(λp

₁

,…,λp

_N-1

;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)

=λ

^ρΓ

Γ

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;

g

(λ),

m

(λ),

a

(λ)

^-1

;ν)

× exp

{

-

∫

^{log λ}

₀

d log γ'γ

_Γ

(

g

(λ'),

m

(λ'),

a

(λ')

^-1

)

}

.

(12.7)