Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов S_u в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем Z_F; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:

-iC

_F

g

²

∫

d

^D

k

(2π)

^D

ν

_4-D

⁰

γ

^μ

γ

_μ

k

²

(p+k)

²

_div

=

 

4g

²

C

_F

16π

²

Γ(ε/2)(4π)

^ε/2

ν

_ε

⁰

.

Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором S_u , получаем

Z

_M

(ν)=1-

3C

_F

α

_g

4π

⎧

⎨

⎩

2

ε

+log 4π-γ

_E

-log ν

²

/ν

₂

⁰

⎫

⎬

⎭

.

(13.5)

Вычисление перенормировочного множителя Z_M проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.

Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qγ^μq или qγ^μγ₅q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток J^μ представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию ∂_μJ^μ(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей Φ_i и тока J^μ

ΤJ

^μ

(x)Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

) .

Тогда, используя соотношение ∂₀θ(x⁰-y⁰) = δ(x⁰-y⁰), можно получить тождество Уорда

∂ΤJ^μ(x)Φ₁(y₁)…Φ_N(y_N)

=

Τ(∂

_μ

J

^μ

(x))Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

)

+

_N

∑

^k=1

δ(x

⁰

-y

₀

^k

)ΤΦ

₁

(y

₁

)

…

[J

⁰

(x),Φ

_k

(y

_k

)]

…

Φ

_N

(y

_N

) .

(13.6)

Пусть справедливо равенство

δ(x

⁰

-y

₀

^k

)[J

⁰

(x),Φ

_k

(y

_k

]

=

Φ'

_k

(y)

_k

δ(x-k

_k

) ;

тогда, если множители Z_J и Z_D представляют собой аномальные размерности тока J^μ и его дивергенции ∂_μJ^μ соответственно, а множители γ_J и γ_D являются коэффициентами перед членом -(g²/16π²)N_ε в выражениях для Z_J и Z_D, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор νd/dν, получаем

γ

_J

∂

_μ

ΤJ

^μ

(x)Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

)

=

Τ

⎧

⎨

⎩

∑

γ

_m

m

∂

∂m

∂

_μ

J

^μ

(x)

⎫

⎬

⎭

Φ

₁

(y

₁

…Φ

_N

(y

_N

)

+

γ

_D

Τ(∂

_μ

J

^μ

(x))Φ

₁

(y

₁

)…Φ

_N

(y

_N

) .

(13.7)

Уравнение (13.7) может выполняться только в том случае, если γ_J=0, а множители γ_D и γ_m удовлетворяют условию

γ

_D

∂

_μ

J

^μ

=-

∑

γ

_m

m

∂

∂m

∂

_μ

J

^μ

.

(13.8)

Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток J^μ записывается в виде J^μ=qγ^μq' . При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока

∂_μJ^μ = i(m-m')qq,

а также явный вид аномальной размерности γ_m , которая вычислена в § 14. Или же можно учесть соотношения (9.17) и (11.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства

m_uD(qq)_uD = m_RZ_m(qq)_uD = M_RZ_M(qq)_uD = M_R(qq)_R ,

с перенормировочным множителем Z_m , равным только что вычисленному множителю Z_M .

§14. Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода

Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра ν перенормированная константа связи достаточно мала для того, чтобы фуыкции β, γ, δ, можно было разложить в ряд по степеням константы связи g(ν) :

β

=

-

⎧

⎨

⎩

β

₀

g

²

(ν)

16π

²

+β

₁

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫²

⎪

⎭

+β

₂

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫³

⎪

⎭

+…

⎫

⎬

⎭

,

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

γ

_m

=

γ

₍₀₎

^m

g

²

(ν)

16π

²

+γ

₍₁₎

^m

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫²

⎪

⎭

+… ,

δ

=

δ

⁽⁰⁾

g

²

(ν)

16π

²

+δ

⁽¹⁾

⎧

⎪

⎩

g

²

(ν)

16π

²

⎫²

⎪

⎭

+… .

(14.1)

Значение коэффициента β₀ можно получить из выражений (9.30) и (12.4):

β

₀

=

1

3

{11C

_A

-4n

_ƒ

Τ

_F

}

=

1

3

(33-2n

_ƒ

) .

(14.2 а)

Используя результат вычислений перенормировочного множителя Z_g во втором [64, 179] и в третьем [241] порядках теории возмущений, для коэффициентов β₁ и β₂ получаем следующие выражения ^21а):

^21а) Значения коэффициентов β₀ и β₁ не зависят от перенормировочной схемы; выражение для коэффициента β₂ выписано для случая схемы MS.

β

₁

=

34

3

C

₂

^A

-

20

3

C

_A

Τ

_F

n

_ƒ

-4C

_F

Τ

_F

n

_ƒ

=102-

38

3

n

_ƒ

;

β

₂

=

2857

54

C

₃

^A

-

1415

27

C

₂

^A

Τ

_F

n

_ƒ

+

158

27

C

_A

Τ

₂

^F

n

₂

^ƒ

-

205

9

C

_A

C

_F

Τ

_F

n

_ƒ

+

44

9

C

_F

Τ

₂

^F

n

₂

^ƒ

+2C

₂

^F

Τ

_F

n

_ƒ

=

2857

2

-

5033

18

n

_ƒ

+

325

54

n

₂

^ƒ

.

(14.2 6)

Вычислим эффективную константу g в низшем порядке теории возмущений. Введем стандартное обозначение α_S=g²/4π. Уравнение (12.6а) в низшем порядке теории возмущений имеет вид

d

g

d

log λ

=

-β

₀

g

³

16π

²

,

и при λ²=Q²/ν² приводит к следующему результату для эффективной константы связи:

∫

α_s(Q²)

 

α_g(ν)

d

α

_s

α

_s

²

=

-β

₀

2π

∫

_{(1/2)log Q²/ν²}

 

⁰

d

log λ' ,

α

_s

(Q

²

)=

α

_g

(ν)

1+α

_g

β

₀

(log Q

²

/ν

²

)/4π

.

(14.3)

Последнее выражение удобно записать через инвариантный параметр Λ, выбирая его таким образом, чтобы оно приняло вид

α

_s

(Q

²

)=

 

4π

 

β

₀

log Q

²

/Λ

²

;

Λ

²

=ν

²

e

^{-4π/β₀α_g(ν)}

.

(14.4 а)

Подставляя выражение для коэффициента β₀ , получаем следующую формулу, описывающую зависимость константы связи α_s от переданного 4-импульса Q:

α

_s

(Q

²

)=

 

12π

 

(33-2n

_ƒ

)log Q

²

/Λ

²

(14.4 б)