Курс теоретической астрофизики

Обозначим через 𝐼(𝑥,𝑦,ν-ν₀) интенсивность излучения, идущего от точки с координатами 𝑥, 𝑦 на диске невращающейся звезды внутри линии на расстоянии ν-ν₀ от её центра. Если звезда вращается, то в выражение для интенсивности излучения вместо ν₀ надо подставить центральную частоту для рассматриваемой точки, равную

ν₀

+

ν₀

𝑣_𝑧

𝑐

,

где 𝑣_𝑧 — лучевая скорость этой точки. Легко получить, что

𝑣

_𝑧

=-

𝑥𝑣

sin

𝑖

.

(13.17)

Поэтому интенсивность излучения, идущего от точки с координатами 𝑥, 𝑦 на диске вращающейся звезды, в частоте ν будет

𝐼

⎛

⎜

⎝

𝑥,

𝑦,

ν-ν₀

+

ν₀

𝑣

𝑐

𝑥

sin

𝑖

⎞

⎟

⎠

.

Обозначим далее через 𝐼₀(𝑥,𝑦) интенсивность излучения, идущего от точки с координатами 𝑥,𝑦 на диске звезды в непрерывном спектре. Тогда отношение энергии, излучаемой звездой в частоте ν внутри линии, к энергии, излучаемой звездой в непрерывном спектре, будет равно

𝑟

(𝑣-𝑣₀)

=

+1

∫

-1 𝑑𝑥

√1+𝑥²

∫

0 𝐼

⎛

⎜

⎝ 𝑥, 𝑦, ν-ν₀ + ν₀

𝑣

𝑐 𝑥 sin 𝑖

⎞

⎟

⎠ 𝑑𝑦

+1

∫

-1 𝑑𝑥

√1+𝑥²

∫

0 𝐼₀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦

(13.18)

Этой формулой и определяется профиль линии поглощения в спектре вращающейся звезды.

С возрастанием скорости вращения звезды ширина линии поглощения увеличивается. Однако одновременно линия становится менее глубокой. Указанное обстоятельство связано с тем, что эквивалентная ширина линии при этом не меняется: при любой скорости вращения она равна эквивалентной ширине линии в спектре невращающейся звезды. Этот результат, понятный из физических соображений, легко также получить из формулы (13.18).

Для упрощения формулы (13.18) сделаем предположение, что профиль линии поглощения во всех частях диска невращающейся звезды одинаков, т.е.

𝐼(𝑥,𝑦,ν-ν₀)

=

𝑟(ν-ν₀)

𝐼₀(𝑥,𝑦)

.

(13.19)

Подставляя (13.19) в (13.18), получаем

𝑟

(ν-ν₀)

=

+1

∫

-1

𝑟

⎛

⎜

⎝

ν-ν₀

+

ν₀

𝑣

𝑐

𝑥

sin

𝑖

⎞

⎟

⎠

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

,

(13.20)

где

𝐴(𝑥)

=

√1+𝑥²

∫

0 𝐼₀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦

+1

∫

-1 𝑑𝑥

√1+𝑥²

∫

0 𝐼₀(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦

.

(13.21)

Выразим расстояние от центра линии в наибольших доплеровских ширинах, обусловленных вращением, т.е. положим

𝑡

=

ν-ν₀

ν₀

𝑐

𝑣 sin 𝑖

(13.22)

и вместо 𝑟(ν-ν₀) и 𝑟(ν-ν₀) будем писать просто 𝑟(𝑡) и 𝑟(𝑡). Тогда вместо соотношения (13.20) получаем

𝑟

(𝑡)

=

+1

∫

-1

𝑟(𝑡-𝑥)

𝐴(𝑥)

𝑑𝑥

.

(13.23)

Соотношение (13.23) даёт возможность вычислить профиль линии в спектре вращающейся звезды по профилю линий в спектре невращающейся звезды, если известна величина 𝐴(𝑥). Чтобы определить эту величину, надо знать закон распределения интенсивности излучения в непрерывном спектре на диске звезды. Мы примем, как обычно,

𝐼₀

=

𝐶(1+β

cos

θ)

,

(13.24)

где θ — угловое расстояние от центра диска. Так как sin θ=√𝑥²+𝑦², то вместо (13.24) имеем

𝐼₀(𝑥,𝑦)

=

𝐶(1+β√

1-𝑥²-𝑦²

)

.

(13.25)

Подставляя (13.25) в (13.21) и производя интегрирование, находим

𝐴(𝑥)

=

2

π √1-𝑥² +

β

2 (1-𝑥²)

1 +

2

3 β

.

(13.26)

Очевидно, что величина 𝐴(𝑥) определяет профиль линии в спектре вращающейся звезды, если ширина линии в спектре невращающейся звезды очень мала. Если же эта ширина не мала (т.е. сравнима с шириной линии, расширенной вращением), то для определения профиля линии в спектре вращающейся звезды надо пользоваться формулами (13.23) и (13.26).

Приведённые формулы позволяют находить по профилям линий скорость вращения звезды (точнее говоря, величину 𝑣 sin 𝑖). Для этого берут профиль линии в спектре невращающейся звезды рассматриваемого спектрального класса и при помощи формулы (13.23) строят профили линий, расширенных вращением, при разных значениях параметра 𝑣 sin 𝑖. Сравнение этих профилей с профилем линии в спектре данной звезды и даёт возможность определить искомое значение 𝑣 sin 𝑖.

На рис. 15 для примера приведён профиль линии гелия 4026 Å в спектре невращающейся звезды 𝚒 Геркулеса, а также найденные по формуле (13.23) профили линий, деформированные вращением. Следует отметить, что уверенное определение величины 𝑣 sin 𝑖 возможно только тогда, когда она достигает значений порядка нескольких десятков километров в секунду. В противном случае эффект вращения трудно отделить от других эффектов, влияющих на профиль линии.

Рис. 15

Указанным способом величины 𝑣 sin 𝑖 были определены для многих звёзд. Оказалось, что быстрым вращением обладают только звёзды ранних спектральных классов: O, B, A и ранних F. Наиболее быстро вращаются (со скоростями, доходящими до 500—600 км/с) звёзды класса Be. Скорости вращения звёзд классов B и A доходят до 400—500 км/с, а звёзд класса F — до 200—300 км/с. Звёзды более поздних классов, чем F5, не обнаруживают заметного вращения. Переход от величин 𝑣 sin 𝑖 к скоростям вращения 𝑣 совершается статистическим путём при предположении, что оси вращения равномерно распределены по направлениям.