Курс теоретической астрофизики

Свечение фотосферы и определяет собой блеск звезды (отсюда и произошло название «фотосфера» — сфера света). Однако в самой фотосфере энергия не вырабатывается. Источники энергии находятся в более глубоких слоях звезды, а через фотосферу энергия лишь переносится наружу.

Уже в первых исследованиях по теории фотосфер было установлено, что перенос энергии в фотосфере осуществляется в основном лучеиспусканием. Перенос энергии теплопроводностью не играет существенной роли вследствие малости коэффициента теплопроводности газов. Перенос энергии конвекцией может иметь значение лишь для отдельных мест в фотосфере.

Изучение переноса лучистой энергии через фотосферу — основная задача теории фотосфер. Решение этой задачи связано с выяснением строения фотосферы, т.е. с нахождением зависимости плотности, температуры и других физических величин от глубины.

Одним из наиболее важных результатов теории фотосфер должно быть получение распределения энергии в непрерывном спектре звезды. Путём сравнения теоретического и наблюдённого распределения энергии в звёздном спектре можно сделать проверку правильности предположений, положенных в основу теории.

Последовательное развитие теории звёздных фотосфер и атмосфер отражено в книгах Э. Милна [1], С. Росселанда [2], В. А. Амбарцумяна [3].

§ 1. Лучистое равновесие звёздной фотосферы

1. Поле излучения.

Поскольку наша ближайшая задача состоит в анализе поля излучения в фотосфере, то прежде всего мы должны ввести величины, характеризующие поле излучения.

Основной из таких величин является интенсивность излучения. Эта величина определяется так. Возьмём в данном месте пространства элементарную площадку, перпендикулярную к направлению излучения. Если величина площадки есть 𝑑σ, а излучение падает в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в телесном угле 𝑑ω за время 𝑑𝑡, то количество лучистой энергии 𝑑𝐸_ν, падающее на площадку, будет пропорционально 𝑑σ 𝑑ν 𝑑ω 𝑑𝑡, т.е. будет равно

𝑑𝐸

_ν

=

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ν

𝑑ω

𝑑𝑡

.

(1.1)

Коэффициент пропорциональности, входящий в эту формулу, и называется интенсивностью излучения. Можно сказать, что интенсивность излучения есть количество лучистой энергии, падающее в единичном интервале частот за единицу времени в единичном телесном угле на единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению излучения. Вообще говоря, интенсивность излучения зависит от координат данной точки, от направления излучения и от частоты ν. Если интенсивность излучения задана, то легко могут быть определены и другие величины, характеризующие поле излучения. Одной из них является плотность излучения ρ_ν, представляющая собой количество лучистой энергии в единичном интервале частот, находящееся в единице объёма.

Чтобы выразить ρ_ν через 𝐼_ν, поступим следующим образом. Допустим сначала, что излучение интенсивности 𝐼_ν падает на площадку 𝑑σ перпендикулярно к ней в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡 внутри малого телесного угла Δω. Тогда количество лучистой энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼_ν 𝑑σ 𝑑ν 𝑑𝑡 Δω. Очевидно, что эта энергия займёт объём 𝑑σ 𝑐 𝑑𝑡 где 𝑐 — скорость света. Поэтому количество лучистой энергии, приходящееся на единицу объёма, будет равно 𝐼_ν 𝑑ν Δω/𝑐. С другой стороны, та же величина по определению равна ρ_ν 𝑑ν Следовательно, в рассматриваемом случае

ρ

_ν

=

𝐼

_ν

Δω

𝑐

.

(1.2)

В общем же случае, когда на данный объём падает излучение со всех сторон, плотность излучения ρ_ν выразится формулой

ρ

_ν

=

1

𝑐

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

,

(1.3)

где интегрирование производится по всем телесным углам.

Рис 1.

Через интенсивность излучения легко также выразить поток излучения 𝐻_ν, представляющий собой количество лучистой энергии, протекающей во всех направлениях через единичную площадку в единичном интервале частот за единицу времени. Чтобы сделать это, рассмотрим сначала излучение, проходящее через площадку 𝑑σ в направлении, составляющем угол θ с её внешней нормалью (рис. 1). В данном случае площадь элементарной площадки, перпендикулярной к направлению излучения, равна 𝑑σ cosθ. Поэтому количество лучистой энергии, протекающее через площадку 𝑑σ под углом θ к нормали внутри телесного угла 𝑑ω за время 𝑑𝑡 в интервале частот от ν до ν+𝑑ν, будет равно 𝐼_ν 𝑑σ cosθ 𝑑ν 𝑑𝑡 𝑑ω. Если мы проинтегрируем это выражение по всем направлениям, то получим величину, которая, по определению, равна 𝐻_ν 𝑑σ 𝑑𝑡 𝑑ν. Следовательно,

𝐻

_ν

=

∫

𝐼

_ν

cosθ

𝑑ω

.

(1.4)

В сферической системе координат с полярной осью, направленной по внешней нормали к площадке 𝑑σ, элемент телесного угла равен 𝑑ω=sinθ 𝑑θ 𝑑φ, где φ — азимут направления излучения. Поэтому выражение для потока излучения может быть переписано в виде

𝐻

_ν

=

2π

∫

0

𝑑φ

π

∫

0

𝐼

_ν

cosθ

sinθ

𝑑θ

.

(1.5)

Так как cosθ<0 при θ>π/2, то из формулы (1.5) следует, что поток излучения 𝐻_ν является разностью двух положительных величин:

𝐻

_ν

=

ℰ

_ν

-

ℰ'

_ν

,

(1.6)

где

ℰ

_ν

=

2π

∫

0

𝑑φ

π/2

∫

0

𝐼

_ν

cosθ

sinθ

𝑑θ

(1.7)

и

ℰ'

_ν

=-

2π

∫

0

𝑑φ

π

∫

π/2

𝐼

_ν

cosθ

sinθ

𝑑θ

.

(1.8)