Курс теоретической астрофизики

На рис. 8 представлена для примера теоретическая кривая распределения энергии в спектре звезды класса 𝙱5(𝑇_𝑒=15 000 K). Вместе с ней дана планковская кривая, соответствующая той же температуре 𝑇_𝑒 (площади под кривыми одинаковы и равны σ𝑇_𝑒⁴/π). Мы видим, что действительная кривая распределения энергии в спектре звезды весьма сильно отличается от планковской кривой. Особенно следует отметить большие скачки интенсивности у пределов серий. Такой же характер носят кривые распределения энергии в спектрах звёзд рассматриваемых типов, полученные из наблюдений.

Таблица 1

Спектрофотометрические температуры

и бальмеровские скачки звёзд ранних спектральных классов

Спектр, класс

𝙰0

𝙱5

𝙱2

𝑇

_𝑒

10

500 K

15

000 K

20

000 K

𝑇

_𝑐

'

⎰

⎱

теор.

19

000

21

000

23

000

набл.

16

000

23

000

26

500

𝑇

_𝑐

ʺ

⎰

⎱

теор.

10

500

15

000

19

000

набл.

11

000

16

000

19

500

𝐷

⎰

⎱

теор.

0

,49

0

,22

0

,10

набл.

0

,47

0

,24

0

,11

В таблице 1 приведены теоретические и наблюдённые значения спектрофотометрической температуры 𝑇_𝑐 и бальмеровского скачка 𝐷. При этом через 𝑇_𝑐' и 𝑇_𝑐ʺ обозначены значения 𝑇_𝑐 до бальмеровского предела (т.е. при ν<ν₂) и после него соответственно.

Напомним, что спектрофотометрической температурой характеризуется наклон кривой распределения энергии в данном месте спектра. Точнее говоря, она определяется из условия, что логарифмическая производная интенсивности спектра равна логарифмической производной планковской интенсивности при температуре 𝑇_𝑐, т.е.

𝑑

𝑑ν

lg 𝐻

_ν

=

𝑑

𝑑ν

lg 𝐵

_ν

(𝑇

_𝑐

)

.

(6.17)

Подставляя сюда выражение для 𝐵_ν(𝑇), находим следующее уравнение для определения 𝑇_𝑐:

𝑑

𝑑ν

lg 𝐻

_ν

=

3

ν

-

ℎ

𝑘𝑇_𝑐

1

1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇_𝑐)}

.

(6.18)

Что же касается бальмеровского скачка, то он определяется формулой

𝐷

=

lg

𝐻_ν<ν₂

𝐻_ν>ν₂

.

(6.19)

Из таблицы 1 видно, что теория находится в хорошем согласии с наблюдениями. Это говорит прежде всего о том, что в фотосферах рассматриваемых звёзд главная роль в поглощении радиации принадлежит действительно атомам водорода.

3. Модели фотосфер.

Как было выяснено выше, в том случае, когда коэффициент поглощения α_ν представляется в виде (6.11), теория фотосфер сильно упрощается. В этом случае сначала можно рассчитать поле излучения в фотосфере, а затем определить структуру фотосферы. Однако обычно α_ν не представляется в виде (6.11) (так как поглощение вызывается разными атомами), вследствие чего обе указанные задачи надо решать совместно. Для этого следует совместно решить ряд уравнений, уже полученных ранее. Мы сейчас приведём эти уравнения, являющиеся основными уравнениями теории фотосфер.

1) Уравнение переноса излучения:

cos θ

=

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑟

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(6.20)

2) Условие постоянства полного потока излучения (эквивалентное условию лучистого равновесия):

2π

∞

∫

0

𝑑ν

π

∫

0

𝐼

_ν

cos θ

sin θ

𝑑θ

=

σ𝑇

4

𝑒

.

(6.21)

3) Закон Кирхгофа — Планка, выражающий собой предположение о локальном термодинамическом равновесии:

ε

_ν

=

α

_ν

2ℎν³

𝑐²

1

𝑒^{ℎν/(𝑘𝑇)}-1

(6.22)

4) Уравнение механического равновесия фотосферы:

𝑑(

𝑝

_𝑔

+

𝑝

_𝑟

)

=-

𝑔ρ

𝑑𝑟

,

(6.23)

где

𝑝

_𝑔

=

𝑅_∗

μ

ρ𝑇

,

𝑝

_𝑟

=

1

3

𝑎𝑇⁴

.

(6.24)

В приведённых уравнениях заданными величинами являются эффективная температура звезды 𝑇_𝑒, ускорение силы тяжести на поверхности звезды 𝑔 и химический состав фотосферы. Кроме того, надо считать заданным выражение для коэффициента поглощения α_ν, который зависит от химического состава и от физических условий в фотосфере (т.е. от 𝑇 и ρ).

В результате решения этих уравнений получается модель фотосферы, т.е. зависимость температуры 𝑇 и плотности ρ от глубины, а также поле излучения в фотосфере. В частности, при этом определяется теоретический спектр звезды, который может быть сравнён с наблюдаемым спектром.

Основные уравнения теории фотосфер обычно решаются методом последовательных приближений. При этом при построении первого приближения используется средний коэффициент поглощения α и соответствующая ему оптическая глубина τ, и принимается, что температура 𝑇 связана с τ так же, как и в случае независимости коэффициента поглощения от частоты. Иными словами, считается, что

𝑇⁴

=

𝑇

4

𝑒

3

4

⎡

⎣

τ

+

𝑞(τ)

⎤

⎦

,

(6.25)

где

𝑑τ

=-

α

𝑑𝑟

=-

ϰ

ρ

𝑑𝑟

.

(6.26)

Из соотношений (6.23) и (6.26) мы также имеем

𝑑𝑝

𝑑τ

=

𝑔

ϰ

,

(6.27)

где обозначено 𝑝=𝑝_𝑔+𝑝_𝑟. Так как величину ϰ можно выразить через 𝑇 и 𝑝, а температура 𝑇 выражается через τ формулой (6.25), то интегрирование уравнения (6.27) позволяет получить 𝑝 как функцию от τ. Зная зависимость 𝑇 и 𝑝 от τ, мы можем при помощи соотношения (6.26) перейти от оптической глубины τ к геометрической глубине 𝑧=𝑟₀-𝑟, где 𝑟₀ — произвольное расстояние от центра звезды, принимаемое за нуль-пункт отсчёта глубин.

Очень часто расчёт моделей фотосфер заканчивается на первом приближении. Однако иногда делаются и последующие приближения, для выполнения которых был предложен ряд способов. С целью облегчения вычислений составлены таблицы значений коэффициента поглощения α_ν и среднего коэффициента поглощения α в зависимости от химического состава, плотности и температуры.