Курс теоретической астрофизики

Выше было получено одно из основных уравнений теории внутреннего строения звёзд — уравнение механического равновесия (35.5). Теперь мы напишем второе основное уравнение этой теории — уравнение энергетического равновесия звезды. Оно должно выражать собой то условие, что количество энергии, вырабатываемое в каком-либо элементарном объёме звезды, равно количеству энергии, которое из этого объёма выходит.

Пусть ε — количество энергии, вырабатываемое одним граммом звёздного вещества, и 𝐿_𝑟 — количество энергии, вырабатываемое внутри сферы радиуса 𝑟 за 1 с. Мы имеем

𝐿

_𝑟

=

4π

∫

0

ερ

𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.42)

Обозначим через 𝐻_𝑟 поток энергии в радиальном направлении на расстоянии 𝑟 от центра звезды. На основании упомянутого условия получаем

4π

𝑟²

𝐻

_𝑟

=

𝐿

_𝑟

.

(35.43)

Выражение для величины 𝐻_𝑟 определяется механизмом переноса энергии внутри звезды. Исследования показали, что основным из этих механизмов является лучеиспускание (хотя в некоторых случаях необходимо принимать во внимание конвекцию и теплопроводность).

Если считать, что энергия внутри звезды переносится только лучеиспусканием, то из уравнения переноса излучения находим

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑟

=-

ϰρ

𝑐

𝐻

_𝑟

,

(35.44)

где 𝑃_𝑅 —давление излучения, ϰ — коэффициент поглощения, рассчитанный на единицу массы, и 𝑐 — скорость света.

Из (35.43) и (35.44) следует

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑟

=-

ϰρ

𝑐

𝐿_𝑟

𝑟

.

(35.45)

Подставляя (35.42) в (35.45), имеем

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

ϰρ

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

ε

𝑐

ρ

.

(35.46)

Это и есть искомое уравнение энергетического равновесия звезды.

При получении уравнения механического равновесия мы понимали под 𝑃 газовое давление. В дальнейшем будем понимать под 𝑃 сумму давлений: газового и светового. Иными словами, будем считать

𝑃

=

𝑃

_𝐺

+

𝑃

_𝑅

,

(35.47)

где

𝑃

_𝐺

=

𝑅_∗

μ

ρ𝑇

(35.48)

и

𝑃

_𝑅

=

1

3

𝑎𝑇⁴

.

(35.49)

Если приведённые выражения для давлений подставить в уравнения (35.5) и (35.46), то мы получим систему двух уравнений для определения двух неизвестных функций от 𝑟: плотности ρ и температуры 𝑇. Входящие в эти уравнения величины ε, ϰ и μ должны считаться известными функциями от ρ и 𝑇.

5. Стандартная модель звезды.

До открытия ядерных реакций как источника звёздной энергии величина ε не была известна. Поэтому в теории внутреннего строения звёзд приходилось делать различные предположения относительно этой величины, в результате чего получались разные модели звёзд. Важную роль в теории сыграла модель, предложенная Эддингтоном. Её обычно называют стандартной моделью звезды.

В качестве уравнений механического и энергетического равновесия звезды возьмём уравнения (35.4) и (35.45). Поделив второе из этих уравнений на первое, получаем

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑃

=

ϰ𝐿_𝑟

4π𝑐𝐺𝑀_𝑟

.

(35.50)

Введём обозначение

𝐿_𝑟

𝑀_𝑟

=

η

𝐿

𝑀

.

(35.51)

Подставляя (35.51) в (35.50), имеем

𝑑𝑃_𝑅

𝑑𝑃

=

ϰη

4π𝑐𝐺

𝐿

𝑀

.

(35.52)

Эддингтон сделал предположение, что внутри звезды

ϰη

=

const

.

(35.53)

При таком предположении вся правая часть уравнения (35.52) будет постоянной. Поэтому, обозначив

ϰη

4π𝑐𝐺

𝐿

𝑀

=

1-β

.

(35.54)

из (35.47) находим

𝑃

_𝑅

=

(1-β)

𝑃

,

(35.55)

а значит,

𝑃

_𝐺

=

β𝑃

.

(35.56)

Мы видим, что при выполнении предположения (35.53) отношение газового давления к световому не меняется в звезде.

Из формул (35.48), (35.49), (35.55) и (35.56) следует

(1-β)

𝑃

=

1

3

𝑎𝑇⁴

,

β𝑃

=

𝑅_∗

μ

ρ𝑇

.

(35.57)

Исключая из этих соотношений 𝑇, получаем

𝑃

=

𝐶ρ⁴

^/

³

,

(35.58)

где

𝐶

=

⎡

⎢

⎣

3(1-β)𝑅_∗⁴

αβ⁴μ⁴

⎤¹/₃

⎥

⎦

.

(35.59)

Если считать, что средний молекулярный вес μ постоянен в звезде, то величина 𝐶 также будет постоянной. Поэтому уравнение (35.58) будет представлять собой политропную зависимость между 𝑃 и ρ при 𝑘=⁴/₃. Иными словами, стандартная модель звезды оказывается политропным шаром 𝑛=3. Следовательно, распределение плотности, давления и температуры в стандартной модели даётся приведёнными выше формулами, основанными на решении уравнения Эмдена. В частности, сделанные выше оценки плотности и температуры в центре Солнца при 𝑛=3 соответствуют стандартной модели.

Ранее для политропного шара формулой (35.24) была определена постоянная 𝐶 в зависимости от 𝑀, 𝑅 и 𝑛. Теперь, пользуясь этой формулой, мы можем найти величину р внутри звезды. Приравнивая друг другу выражения для 𝐶, даваемые формулой (35.24) при 𝑛=3 и формулой (35.59), получаем, что величина β определяется уравнением

1-β

=

𝐶₁

μ⁴

𝑀²

β⁴

,

(35.60)

где

𝐶₁

=

π𝐺³𝑎

48𝑅_∗⁴[𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)]²

.

(35.61)

Из уравнения (35.60) видно, что доля светового давления 1-β растёт вместе с массой звезды (β=1, когда 𝑀=0, и β=0, когда 𝑀=∞).

Таблица 56

Характеристики звёзд

согласно «стандартной модели»

Звезда

 𝑀/𝑀

_☉

 𝑅/𝑅

_☉

𝐿/𝐿

_☉

1-β

ρ

_𝑐

𝑇

_𝑐

Солнце

1,00

1

,00

1

,00

0,003

76

,5

20

⋅

10

⁶

Сириус А

2,34

1

,78

38

,9

0,016

31

,7

26

⋅

10

⁶

Капелла А

4,18

15

,9

120

0,045

0

,080

5

⋅

10

⁶

В таблице 56, заимствованной у Чандрасекара [3], приведены результаты вычислений некоторых характеристик для трёх звёзд, полученные при предположении, что звёзды построены согласно стандартной модели. При вычислениях были заданы значения 𝑀, 𝐿, 𝑅 и было принято μ=1.