Курс теоретической астрофизики

3. Гравитационная энергия звезды.

Для звезды, представляющей собой политропный шар, может быть получена очень простая формула, определяющая гравитационную энергию. Мы обозначим гравитационную энергию звезды через 𝐸. Эта величина отрицательна и численно равна работе, которую надо затратить, чтобы удалить все слои звезды в бесконечность, т.е.

𝐸

=-

𝐺

∫

𝑀_𝑟

𝑟

𝑑𝑀

_𝑟

,

(35.29)

где интегрирование распространено на всю звезду.

Формулу (35.29) можно переписать в виде

𝐸

=-

𝐺

2

∫

𝑑𝑀_𝑟²

𝑟

=-

𝐺𝑀²

2𝑅

-

𝐺

2

∫

𝑀

_𝑟

²

𝑑𝑟

𝑟²

.

(35.30)

На основании соотношений (35.4) и (35.7) получаем

𝐺

∫

𝑀

_𝑟

²

𝑑𝑟

𝑟²

=-

∫

𝑀_𝑟

ρ

𝑑𝑃

=-

𝐶𝑘

𝑘-1

∫

𝑀

_𝑟

𝑑ρ

^𝑘-1

.

(35.31)

Производя здесь интегрирование по частям и пользуясь формулами (35.3) и (35.6), находим

𝐺

∫

𝑀

_𝑟

²

𝑑𝑟

𝑟²

=-

4π

𝐶𝑘

𝑘-1

∫

ρ

^𝑘

𝑟²

𝑑𝑟

=

4π

𝑘

𝑘-1

∫

𝑃𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.32)

Подстановка (35.32) в (35.30) даёт

𝐸

=-

𝐺𝑀²

2𝑅

-

2π

𝑘

𝑘-1

∫

𝑃𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.33)

С другой стороны, формулу (35.29) можно преобразовать так:

𝐸

=

∫

𝑟

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

𝑑𝑀

_𝑟

=

4π

∫

𝑟³

𝑑𝑃

=-

12π

∫

𝑃

𝑟²

𝑑𝑟

.

(35.34)

Из (35.33) и (35.34) следует

𝐸

=-

𝐺𝑀²

2𝑅

+

𝑘

6(𝑘-1)

𝐸

,

(35.35)

откуда имеем

𝐸

=-

3

5-𝑛

𝐺𝑀²

𝑅

.

(35.36)

Этой формулой и определяется гравитационная энергия звезды при политропном индексе 𝑛.

Как видно из формулы (35.36), энергия 𝐸 отрицательна лишь при 𝑛<5. Исследование уравнения Эмдена показывает, что при 𝑛≥5 политропные шары имеют бесконечно большие радиусы.

Необходимо отметить, что гравитационная энергия звезды связана простым соотношением с её тепловой энергией. С целью получения этого соотношения обратимся к формуле (35.34) для гравитационной энергии звезды 𝐸. Эта формула была выведена непосредственно из уравнения механического равновесия (подчеркнём, что без предположения о звезде как политропном шаре). С другой стороны, тепловая энергия звезды, которую мы обозначим через 𝑄, даётся очевидной формулой

𝑄

=

6π

𝑅

∫

0

𝑃

𝑟²

𝑑𝑟

,

(35.37)

где ³/₂𝑃 — тепловая энергия единицы объёма. Сравнивая между собой формулы (35.34) и (35.37), имеем

𝐸

+

2𝑄

=

0

.

(35.38)

Соотношение (35.38) представляет собой частный случай теоремы вириала, утверждающей, что в стационарной гравитирующей системе потенциальная энергия равна по абсолютной величине удвоенной кинетической энергии. В астрономии эта теорема часто применяется к звёздным системам. В рассматриваемом случае одиночной звезды под кинетической энергией звезды понимается её тепловая энергия.

С помощью теоремы вириала можно легко получить оценку температуры внутри звезды. Гравитационная энергия звезды, на основании формулы (35.29), может быть записана в виде

𝐸

=-

γ

𝐺𝑀²

𝑅

,

(35.39)

где γ — безразмерный множитель, зависящий от структуры звезды. Тепловая же энергия звезды может быть представлена формулой

𝑄

=

3

2

𝑘

𝑇

𝑀

μ𝑚_𝙷

(35.40)

где 𝑀/μ𝑚_𝙷 — число частиц в звезде и 𝑇 — её средняя температура. Подстановка двух последних выражений в соотношение (35.38) даёт

𝑇

=

γμ𝑚_𝙷

3𝑘

𝐺𝑀

𝑅

.

(35.41)

Применяя формулу (35.41) к Солнцу, находим 𝑇≈8⋅10⁶γμ. Если в качестве примера принять γ=³/₂ и μ=1, то будем иметь 𝑇≈1,2⋅10⁷ кельвинов. Таким образом, самые простые оценки показывают, что температуры внутри звёзд очень высоки.

Как уже сказано, энергию, равную 𝐸, нужно затратить, чтобы рассеять звезду в пространстве. Однако эта энергия должна выделиться, если туманность сжимается до состояния звезды. Согласно теореме вириала, половина выделившейся при сжатии энергии идёт на нагревание звезды. Другая же половина расходуется звездой на излучение.

Раньше считали, что звёзды возникают из туманностей и свечение звезды в течение всей её жизни происходит за счёт гравитационной энергии, выделяющейся при сжатии. Однако потом выяснилось, что гравитационной энергии недостаточно для этого.

Рассмотрим для примера опять Солнце. Принимая 𝑛=3, по формуле (35.36) находим, что гравитационная энергия Солнца равна 𝐸=-6⋅10⁴⁸ эрг. Светимость Солнца составляет 4⋅10³³ эрг/с. Поэтому за счёт гравитационной энергии (точнее её половины) Солнце могло излучать при постоянной светимости не более 2,5⋅10⁷ лет. По данным же геологии Земля существует не менее 2⋅10⁹ лет, причём светимость Солнца за это время существенно не менялась. Следовательно, Солнце обладает гораздо более мощными источниками энергии по сравнению с его гравитационной энергией.

Однако для некоторых звёзд гравитационная энергия, выделяющаяся при сжатии, может быть существенным источником их свечения. К таким звёздам относятся белые карлики, не достигшие ещё полного вырождения, т.е. имеющие ещё способность сжиматься. Как известно, массы белых карликов по порядку равны массе Солнца, а их радиусы составляют несколько сотых радиуса Солнца. Поэтому гравитационная энергия белого карлика будет порядка 10⁵⁰ эрг. Светимость же белых карликов примерно в сто раз меньше светимости Солнца, т.е. порядка 10³² эрг/с. Из сопоставления этих цифр следует, что в случае сжатия белого карлика должна выделяться энергия, которая может обеспечить его свечение в течение весьма длительного времени. Разумеется, этим не решается вопрос о действительных источниках энергии белых карликов.

4. Уравнение энергетического равновесия.