Курс теоретической астрофизики

где 𝐶 и 𝑘 — постоянные. Такая зависимость между 𝑃 и ρ называется политропной. Таким образом, звёзды первоначально рассматривались как политропные газовые шары.

При помощи (35.6) находим

1

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

=

𝐶𝑘

𝑘-1

𝑑ρ^𝑘-1

𝑑𝑟

.

(35.7)

Подставляя (35.7) в (35.5) и используя обозначение

ρ

^𝑘-1

=

𝑢

,

(35.8)

получаем

𝐶(1+𝑛)

1

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑟²

𝑑𝑢

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

4π

𝐺𝑢

^𝑛

,

(35.9)

где 𝑛=1/(𝑘-1). Величина 𝑛 называется политропным индексом.

Уравнение (35.9), в которое входит одна неизвестная функция 𝑢(𝑟), можно несколько упростить путём введения новых безразмерных переменных. Именно, положим

𝑢

=

𝑢₀𝑦

,

𝑥

=

λ𝑟

(35.10)

и будем считать, что 𝑢₀ есть значение 𝑢 в центре звезды (при 𝑟=0). Что же касается величины λ, то подберём её так, чтобы при подстановке (35.10) в (35.9) сократились все постоянные. Тогда для определения λ получаем соотношение

𝐶(1+𝑛)

λ²

=

4π

𝐺𝑢₀

^𝑛-1

,

(35.11)

а уравнение (35.9) принимает вид

1

𝑥²

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑥²

𝑑𝑦

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

=-

𝑦

^𝑛

.

(35.12)

Очевидно, что функция 𝑦(𝑥) должна удовлетворять следующим двум условиям в центре звезды:

𝑦=1,

𝑦'=0,

при

𝑥=0.

(35.13)

Уравнение (35.12), называемое уравнением Эмдена, играло очень большую роль на первом этапе изучения строения звёзд. Исследованию этого уравнения было посвящено много работ. Однако решения уравнения Эмдена в явном виде удалось получить только для трёх значений политропного индекса (𝑛=0, 1, 5). Эти решения при граничных условиях (35.13) имеют вид

𝑦

=

1

-

𝑥²

6

при

𝑛=0,

(35.14)

𝑦

=

sin 𝑥

𝑥

при

𝑛=1,

(35.15)

𝑦

=

1

(1+𝑥²/3)¹^/²

при

𝑛=5.

(35.16)

Для других значений 𝑛 уравнение (35.12) при граничных условиях (35.13) было решено численно. В астрофизической литературе (например, в [1]) даны подробные таблицы решений уравнения Эмдена.

2. Плотность, давление и температура внутри звезды.

Если считать звезду политропным шаром с заданным политропным индексом 𝑛, то, пользуясь соответствующим решением уравнения Эмдена, можно легко найти распределение плотности, давления и температуры внутри звезды.

На основании формул (35.8) и (35.10) имеем

ρ(𝑟)

=

𝑢₀

^𝑛

𝑦

^𝑛

(λ𝑟)

.

(35.17)

Следовательно, для нахождения функции ρ(𝑟) надо знать постоянные 𝑢₀ и λ. Для их определения воспользуемся условиями на границе звезды.

Обозначим через 𝑥₁ значение 𝑥 при 𝑥=𝑅. Величина 𝑥₁ находится из того условия, что на поверхности звезды функция 𝑦(𝑥) обращается в нуль, т.е. 𝑦(𝑥₁)=0 Применяя к поверхности звезды вторую из формул (35.10), получаем

𝑥₁

=

λ𝑅

.

(35.18)

Напишем, далее, для границы звезды уравнение гидростатического равновесия. Из уравнений (35.1) и (35.2) следует

⎛

⎜

⎝

1

ρ

𝑑𝑃

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠𝑟=𝑅

=-

𝐺

𝑀

𝑅²

.

(35.19)

где 𝑀 — масса звезды. Пользуясь формулами (35.7), (35.8) и (35.10), вместо (35.19) находим

𝐶(1+𝑛)

𝑢₀λ

𝑦'(𝑥₁)

=-

𝐺

𝑀

𝑅²

.

(35.20)

Подставляя в (35.20) выражение для 𝐶 из (35.11) и выражение для λ из (35.18), получаем

𝑢₀

^𝑛

=-

𝑥₁𝑀

4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)

.

(35.21)

Таким образом, искомые величины λ и 𝑢₀ даются формулами (35.18) и (35.21). После их определения, как уже сказано, по формуле (35.17) может быть найдена плотность в любом месте звезды.

Очевидно, что величина 𝑢₀^𝑛 представляет собой плотность в центре звезды, т.е. ρ_𝑐=𝑢₀^𝑛. Обозначая через ρ среднюю плотность звезды, имеем

ρ

=

𝑀

.

4

π𝑅³

3

(35.22)

Поэтому формулу (35.21) можно переписать в виде

ρ

_𝑐

=-

𝑥₁

3𝑦'(𝑥₁)

ρ

.

(35.23)

В таблице 55, взятой из книги Чандрасекара [3], даны значения величин 𝑥₁ 𝑥₁²𝑦'(𝑥₁) и ρ_𝑐/ρ для разных значений политропного индекса 𝑛.

Таблица 5

Зависимость некоторых параметров звезды

от политропного индекса

𝑛

0

1

2

3

4

5

𝑥₁

2,45

3,14

4

,35

6

,90

15

,0

𝑥₁²𝑦'(𝑥₁)

4,90

3,14

2

,41

2

,02

1

,80

1,73

ρ

_𝑐

/

ρ

1,00

3,29

11

,4

54

,2

622

При помощи табл. 55 найдём в виде примера плотность в центре Солнца, принимая 𝑛=3. Так как средняя плотность Солнца равна ρ=1,41 г/см³, то для плотности в центре получаем ρ_𝑐=54,2ρ=76,5 г/см³.

Давление внутри звезды может быть найдено по формуле (35.6), для чего следует определить величину 𝐶, которая считается постоянной в звезде, но заранее не известной. При помощи формул (35.11), (35.18) и (35.21) имеем

𝐶

=

4π𝐺

1+𝑛

𝑅²

𝑥₁²

⎡

⎢

⎣

𝑥₁𝑀

4π𝑅³𝑦'(𝑥₁)

⎤(𝑛-1)/𝑛

⎥

⎦

(35.24)

Для давления в центре звезды находим

𝑃

_𝑐

=

𝐺

4π(1+𝑛)

⎡

⎢

⎣

𝑀

𝑅³𝑦'(𝑥₁)

⎤²

⎥

⎦

.

(35.25)

Чтобы найти температуру внутри звезды, надо задать уравнение состояния звёздного вещества, связывающее между собой температуру, плотность и давление. Мы примем, что звезда состоит из идеального газа. В таком случае в качестве уравнения состояния имеем

𝑃

=

𝑅_∗

μ

ρ𝑇

,

(35.26)

где 𝑅_∗ — газовая постоянная и μ —средняя молекулярная масса.

Из уравнения (35.26) при помощи соотношений (35.6) и (35.8) для температуры 𝑇 находим

𝑇

=

μ

𝑅_∗

𝐶𝑢

.

(35.27)

Таким образом, температура оказывается пропорциональной введённой выше величине 𝑢.

Легко получить, что в центре звезды температура равна

𝑇

_𝑐

=-

μ𝐺

(1+𝑛)𝑅_∗𝑥₁𝑦'(𝑥₁)

𝑀

𝑇

.

(35.28)

Для Солнца при 𝑛=3 по формуле (35.28) находим: 𝑇_𝑐=2⋅10⁷ кельвинов (если считать, что μ=1). Разумеется, эта оценка 𝑇_𝑐, как и сделанная выше оценка 𝑝_𝑐, является весьма грубой. Однако, как увидим дальше, и более правильные модели звёзд, рассчитанные без предположения о политропной зависимости между давлением и плотностью, приводят к таким же по порядку результатам.