Вопрос о зависимости коэффициента поглощения от частоты и о влиянии этой зависимости на вид спектра звезды будет подробно рассмотрен в двух следующих параграфах. Сейчас же мы попытаемся определить некоторые характеристики звёздной фотосферы, сохраняя допущение о независимости коэффициента поглощения от частоты. Полученные ниже результаты можно применять в качестве приближения к реальным фотосферам, если пользоваться некоторым средним коэффициентом поглощения (т.е. коэффициентом поглощения, усреднённым по частоте).
4. Зависимость температуры и плотности от глубины.
Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).
Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия
𝑑𝑝
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
,
(4.42)
где 𝑝 — давление, ρ — плотность и 𝑔 — ускорение силы тяжести в фотосфере.
Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:
𝑝
=
𝑅*
μ
ρ𝑇
,
(4.43)
где μ — средний молекулярный вес и 𝑅* — газовая постоянная.
Считая, что μ не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим
𝑅*
μ
𝑑(ρ𝑇)
=-
𝑔ρ
𝑑𝑟
.
(4.44)
Воспользуемся также полученной выше связью между температурой 𝑇 и оптической глубиной τ. Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует
𝑑𝑇⁴
=-
3
4
𝑇
4
𝑒
α
𝑑𝑟
.
(4.45)
Здесь под α, как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.
Из двух последних уравнений можно найти ρ и 𝑇 в виде функций от 𝑟. Но для этого надо задать зависимость α от ρ и 𝑇. Мы положим α=ϰρ и будем сначала считать, что ϰ=const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем
𝑑(ρ𝑇)
=
3
4
𝑔μ
ϰ𝑅*
𝑑𝑇⁴
𝑇
4
𝑒
,
(4.46)
или, после интегрирования,
ρ
=
4
3
𝑔μ
ϰ𝑅*
𝑇⁴
-
𝑇
4
0
𝑇
4
𝑒 𝑇
,
(4.47)
где 𝑇₀ — поверхностная температура звезды.
В глубоких слоях фотосферы, где 𝑇⁴≫𝑇₀⁴ плотность оказывается связанной с температурой соотношением
ρ
=
4
3
𝑔μ
ϰ𝑅*
𝑇³
𝑇
4
𝑒
.
(4.48)
Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
𝑔μ
4𝑅*
.
(4.49)
Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно α. Допустим, например, что
α
~
ρ²
𝑇𝑠
,
(4.50)
где 𝑠 — некоторый параметр (такая формула для α, как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем
ρ
~
𝑇
(𝑠+3)/2
(4.51)
и
𝑑𝑇
𝑑𝑟
=-
2
𝑠+5
𝑔μ
𝑅*
.
(4.52)
Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) 𝑔=2,7⋅10⁴, μ=1, 𝑅*=8,3⋅10⁷, находим: 𝑑𝑇/𝑑𝑟=-10⁻⁴ кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.
Из полученных формул можно также найти величину |𝑑𝑟/𝑑τ|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу 𝑑τ=-ϰρ 𝑑𝑟 выражение (4.48), находим
𝑑𝑟
𝑑τ
=-
3
4
𝑅*𝑇𝑒
𝑔μ𝑇³
.
(4.53)
Если мы положим здесь 𝑇=𝑇𝑒 то величина |𝑑𝑟/𝑑τ|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.
5. Световое давление в фотосфере.
При рассмотрении механического равновесия фотосферы мы не приняли во внимание световое давление. Оценим теперь роль светового давления в фотосфере, найдя отношение светового давления к газовому. Для этого получим сначала общие формулы, определяющие силу светового давления. В дальнейшем эти формулы нам понадобятся для применения не только к фотосфере, но и к другим объектам.
Как известно, каждый фотон обладает количеством движения, равным ℎν/𝑐 Если фотон поглощается атомом, то атом получает количество движения ℎν/𝑐 в направлении движения фотона. Этим и вызывается давление излучения на атомы.