Полагая в полученных формулах τ=0, мы можем определить поверхностную температуру 𝑇₀. В приближении Эддингтона находим
𝑇₀
=
2⁻¹
/
⁴
𝑇
𝑒
=
0,841
𝑇
𝑒
.
(4.22)
Точная связь между 𝑇₀ и 𝑇𝑒 такова:
𝑇₀
=
⎛
⎜
⎝
√3
4
⎞¹/₄
⎟
⎠
𝑇
𝑒
=
0,811
𝑇
𝑒
.
(4.23)
Положив в тех же формулах 𝑇=𝑇𝑒, мы находим оптическую глубину, соответствующую эффективной температуре звезды. Она получается равной τ=²/₃ по формуле (4.20) и τ=0,64 по формуле (4.21).
3. Излучение, выходящее из фотосферы.
Чтобы определить поле излучения в фотосфере для разных частот, мы должны воспользоваться уравнением переноса излучения
cosθ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑟
=-
α
ν
𝐼
ν
+
ε
ν
.
(4.24)
Полагая здесь
εν
αν
=
𝑆
ν
(4.25)
и вводя оптическую глубину в фотосфере в частоте ν
τ
ν
=
∞
∫
𝑟
α
ν
𝑑𝑟
,
(4.26)
вместо (4.24) получаем
cosθ
𝑑𝐼ν(τν,θ)
𝑑τν
=
𝐼
ν
(τ
ν
,θ)
-
𝑆
ν
(τ
ν
)
.
(4.27)
Интегрируя уравнение (4.27), можно найти интенсивность излучения на разных оптических глубинах. Для нас наибольший интерес представляет интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величина 𝐼ν(0,θ). Эта величина равна
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝑆
ν
(τ
ν
)
𝑒
-τνsecθ
secθ
𝑑τ
ν
.
(4.28)
Формула (4.28) есть простое следствие уравнения переноса излучения. Воспользуемся теперь предположением о локальном термодинамическом равновесии. Сравнивая между собой формулы (4.25) и (4.1), мы видим, что при этом предположении
𝑆
ν
(τ
ν
)
=
𝐵
ν
(𝑇)
,
(4.29)
где 𝐵ν(𝑇) — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела, даваемая формулой (4.2). Поэтому в случае локального термодинамического равновесия вместо (4.28) получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
∞
∫
0
𝐵
ν
(𝑇)
𝑒
-τνsecθ
secθ
𝑑τ
ν
.
(4.30)
или
𝐼
ν
(0,θ)
=
2ℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝑒-τνsecθsecθ𝑑τν
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
(4.31)
Формула (4.31) даёт интенсивность излучения частоты ν, выходящего из звезды под углом θ к радиусу-вектору. Вместе с тем она даёт яркость диска звезды в частоте ν на угловом расстоянии θ от центра диска (см. § 2).
Величина 𝐼ν(0,θ) может быть найдена из наблюдений Солнца и затменных переменных. Из наблюдений других звёзд получается лишь величина, пропорциональная потоку излучения 𝐻ν с поверхности звезды. Точнее говоря, эти наблюдения дают освещённость от звезды, равную
ℰ
ν
=
𝐿ν
4π𝑟²
(4.32)
где ℰν — светимость звезды в частоте ν и 𝑟 — расстояние от звезды до наблюдателя. Но
ℰ
ν
=
4π𝑅²
𝐻
ν
,
(4.33)
где 𝑅 — радиус звезды. Поэтому имеем
ℰ
ν
=
⎛
⎜
⎝
𝑅
𝑟
⎞²
⎟
⎠
𝐻
ν
.
(4.34)
Таким образом, поток излучения 𝐻ν характеризует относительное распределение энергии в спектре звезды.
Поток излучения 𝐻ν определяется формулой
𝐻
ν
=
2π
π/2
∫
0
𝐼
ν
(0,θ)
cosθ
sinθ
𝑑θ
,
(4.35)
вытекающей из (1.5). Подставляя в (4.35) выражение (4.28) и меняя порядок интегрирования, находим
𝐻
ν
=
2π
∞
∫
0
𝑆
ν
(τ
ν
)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
,
(4.36)
где 𝐸₂τν — вторая интегральная показательная функция [сравните с формулой (2.50)1.
При предположении о локальном термодинамическом равновесии в фотосфере, из (4.36) следует
𝐻
ν
=
2π
∞
∫
0
𝐵
τ
(𝑇)
𝐸₂
τ
ν
𝑑τ
ν
,
(4.37)
или
𝐻
ν
=
4πℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝐸₂τν𝑑τν
𝑒ℎν/(𝑘𝑇)-1
.
(4.38)
Формулы (4.31) и (4.38) справедливы при любой зависимости коэффициента поглощения от частоты. Однако чтобы воспользоваться этими формулами, необходимо знать связь между величинами 𝑇 и τν. В дальнейшем мы займёмся установлением такой связи при произвольном коэффициенте поглощения αν. Сейчас же, как и раньше, допустим, что коэффициент поглощения не зависит от частоты. В этом случае τν=τ, а связь между 𝑇 и τ даётся формулой (4.21) [или приближённой формулой (4.20)].
В указанном случае вместо формул (4.31) и (4.38) получаем
𝐼
ν
(0,θ)
=
2ℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝑒
-τsecθ
secθ 𝑑τ
exp
⎡
⎢
⎣
ℎν
⎛
⎜
⎝
1
+
3
τ
⎞
⎟
⎠
⎤-1/4
⎥
⎦
-1
𝑘𝑇
𝑒
2
4
(4.39)
и
𝐻
ν
=
4πℎν³
𝑐²
∞
∫
0
𝐸₂τ 𝑑τ
exp
⎡
⎢
⎣
ℎν
⎛
⎜
⎝
1
+
3
τ
⎞
⎟
⎠
⎤-1/4
⎥
⎦
-1
𝑘𝑇
𝑒
2
4
(4.40)
где использована формула (4.20).
Вычисления показывают, что распределение энергии в непрерывном спектре звезды, даваемое формулой (4.40), не сильно отличается от планковского распределения при температуре, равной эффективной температуре звезды, т.е.
𝐻
ν
≃
π
2ℎν³
𝑐²
1
𝑒ℎν/(𝑘𝑇𝑒)-1
(4.41)
Только в далёкой ультрафиолетовой области спектра имеется значительный избыток излучения по сравнению с планковским, причём он растёт с увеличением частоты ν.
Однако наблюдаемое распределение энергии в спектрах звёзд не согласуется с теоретическим распределением, даваемым формулой (4.40). При этом для звёзд разных спектральных классов расхождения между наблюдениями и теорией различны. Например, расхождения не очень велики для видимой части спектра Солнца, но очень велики для видимой части спектров звёзд классов 𝙰 и 𝙱. Объясняется это тем, что формула (4.40) написана при предположении о независимости коэффициента поглощения от частоты. Очевидно, что влияние зависимости коэффициента поглощения от частоты на распределение энергии в спектре звезды должно быть очень существенным.