Курс теоретической астрофизики

где 𝑚 и 𝑒 — масса и заряд электрона соответственно, 𝑔_𝑖ν — некоторый поправочный множитель, близкий к единице (так называемый множитель Гаунта). Формула (5.6) справедлива лишь для частот, удовлетворяющих неравенству ν≥ν_𝑖=χ_𝑖/ℎ, т.е. за пределом 1-й серии. Мы видим, что за пределом серии коэффициент поглощения 𝑘_𝑖ν убывает обратно пропорционально кубу частоты. Значения коэффициента поглощения сразу за пределами первых серий порядка 10⁻¹⁷ см² (0,63⋅10⁻¹⁷ см² сразу за пределом серии Лаймана, 1,4⋅10⁻¹⁷ см² — сразу за пределом серии Бальмера и т.д.).

Чтобы найти объёмный коэффициент поглощения α_ν', надо подставить выражение (5.6) в формулу (5.2). Вместе с тем мы примем, что распределение атомов по состояниям даётся формулами (5.4) и (5.5). Из двух последних формул получаем

𝑛

_𝑖

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

𝑔_𝑖

𝑔⁺

ℎ³

2(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

(5.7)

Подставляя (5.6) и (5.7) в формулу (5.2), находим

α

_ν

'

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁵π²𝑒⁶

3√3𝑐ℎ

χ₁

(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

⋅

1

ν³

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

,

(5.8)

где величина χ₁ как и раньше, есть энергия ионизации из первого состояния, равная

χ₁

=

2π²𝑚𝑒⁴

ℎ²

.

(5.9)

В формуле (5.8) для частот за границей серии Лаймана 𝑖₀=1, для частот от границы серии Бальмера до границы серии Лаймана 𝑖₀=2 и т.д.

Для коэффициента поглощения α_ν'', обусловленного свободно-свободными переходами электрона в поле протона, квантовая механика даёт

α

_ν

''

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

1

ν³

𝑔

_ν

,

(5.10)

где 𝑛_𝑒 и 𝑛⁺ — число свободных электронов и число протонов в 1 см³ соответственно, 𝑔_ν — поправочный множитель Гаунта порядка единицы. При получении формулы (5.10) принято, что распределение свободных электронов по скоростям даётся формулой Максвелла с температурой 𝑇. Коэффициент поглощения α_ν'' так же как 𝑘_𝑖ν, обратно пропорционален кубу частоты. Однако формула (5.10), в отличие от формулы (5.6), справедлива для всех частот.

Однако формулы (5.8) и (5.10) не вполне точны, так как в них не учтено так называемое отрицательное поглощение. Подробно об отрицательном поглощении речь будет идти в § 8. Пока же заметим, что при термодинамическом равновесии (точнее говоря, при выполнении формул Максвелла, Больцмана и Саха) для учёта отрицательного поглощения приведённое выше выражение для коэффициента поглощения следует умножить на величину 1-𝑒^{-ℎν/(𝑘𝑇)}

Подставляя (5.8) и (5.10) в формулу (5.3) и учитывая отрицательное поглощение, получаем следующее выражение для объёмного коэффициента поглощения, обусловленного водородными атомами:

α

_ν

=

𝑛

_𝑒

𝑛⁺

2⁴π²𝑒⁶𝑘𝑇

3√3𝑐ℎ(2π𝑚𝑘𝑇)³^/²

×

×

⎡

⎢

⎣

2

χ₁

𝑘𝑇

∞

∑

𝑖=𝑖₀

𝑔_𝑖ν

𝑖³

exp

⎛

⎜

⎝

χ_𝑖

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

+

𝑔

_ν

⎤

⎥

⎦

1

ν³

⋅

⎧

⎪

⎩

1

-

exp

⎛

⎜

⎝

-

ℎν

𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎭

.

(5.11)

Зависимость коэффициента поглощения от частоты, даваемая формулой (5.11), схематически представлена на рис. 5. Мы видим, что эта зависимость является весьма сложной. Бросаются в глаза скачки коэффициента поглощения у пределов серий.

Рис. 5

Аналогичный характер носит зависимость коэффициента поглощения от частоты для водородоподобных ионов (He⁺, Li⁺⁺, и т.д.). В этом случае коэффициенты поглощения определяются приведёнными выше формулами с небольшими видоизменениями. Для иона с атомным номером Z в правую часть формулы (5.6) надо ввести множитель Z⁴, а в правые части формул (5.10) и (5.11) — множитель Z². При этом в формуле (5.11) под χ₁ следует понимать энергию ионизации из основного состояния рассматриваемого иона.

Приведённые формулы можно использовать и для приближённого вычисления коэффициентов поглощения неводородоподобных атомов. Это можно делать в тех случаях, когда поглощение связано с переходами электронов с высоких энергетических уровней. Вообще же коэффициенты поглощения разных атомов должны определяться специальными расчётами или экспериментально. Оказывается, что зависимость коэффициента поглощения от частоты для разных атомов весьма различна. Например, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального гелия обратно пропорционален квадрату частоты, коэффициент поглощения из основного состояния нейтрального кислорода с увеличением частоты сначала растёт, а затем убывает, и т.д.

Из всех неводородоподобных атомов наибольшую роль в фотосферах играет отрицательный ион водорода. Поэтому вопрос о поглощении отрицательными ионами водорода мы должны рассмотреть более подробно.

3. Поглощение отрицательными ионами водорода.

Отрицательный ион водорода (обозначаемый через H⁻) представляет собой систему, состоящую из нейтрального атома водорода с присоединившимся к нему электроном. Такая система имеет только одно устойчивое состояние с очень небольшой энергией ионизации, равной χ=0,75 эВ. Для сравнения укажем, что энергия ионизации из основного состояния водорода равна 13,6 эВ, а энергия квантов в видимой части спектра равна 2—3 эВ. Следовательно, частота ионизации отрицательного иона водорода ν₁=χ₁/ℎ находится в далёкой инфракрасной части спектра. При фотоионизации отрицательного иона водорода могут поглощаться все кванты с частотами ν≥ν₁ в частности, кванты в видимой области спектра.